Упр.1113 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 5/7 и 4/9; б) 38/39 и 11/12; в) 3,12 и 3 1/8; г) 17,2(7) и 17,27. Найдите все двузначные числа аb, где b > а, при которых значение дроби ab/(a+b) равно целому числу.

а) Приведём дроби к общему знаменателю:

$$\frac{5}{7}=\frac{45}{63}, \qquad \frac{4}{9}=\frac{28}{63}.$$

Так как $$45>28,$$ то

$$\frac{5}{7} > \frac{4}{9}.$$

б) Найдём дополнения до 1:

$$1-\frac{38}{39}=\frac{1}{39}, \qquad 1-\frac{11}{12}=\frac{1}{12}.$$

Так как $$\frac{1}{39}<\frac{1}{12},$$ то

$$1-\frac{38}{39} < 1-\frac{11}{12},$$

следовательно,

$$\frac{38}{39} > \frac{11}{12}.$$

в) Переведём смешанное число в десятичную дробь:

$$3\frac{1}{8}=3{,}125.$$

Тогда

$$3{,}12 < 3{,}125,$$

значит,

$$3{,}12 < 3\frac{1}{8}.$$

г) Периодическая дробь

$$17{,}2(7)=17{,}2777\ldots$$

а число

$$17{,}27=17{,}2700\ldots$$

Поэтому

$$17{,}2(7) > 17{,}27.$$

Найдём все двузначные числа $$\overline{ab}$$, где $$b>a,$$ для которых значение дроби $$\frac{\overline{ab}}{a+b}$$ — целое число.

Пусть это целое число равно $$z$$. Тогда

$$\frac{10a+b}{a+b}=z,$$

откуда

$$10a+b=z(a+b).$$

Преобразуем:

$$10a-za=zb-b,$$

$$a(10-z)=b(z-1).$$

Так как $$b>a,$$ то

$$10-z>z-1,$$

$$11>2z,$$

$$z<5{,}5.$$

Значит, $$z\in\{1,2,3,4,5\}.$$

Проверим возможные значения $$z$$:

при $$z=1$$: $$9a=0,$$ решений нет;

при $$z=2$$: $$8a=b,$$ получаем $$a=1,\ b=8$$, число $$18$$;

при $$z=3$$: $$7a=2b,$$ получаем $$a=2,\ b=7$$, число $$27$$;

при $$z=4$$: $$6a=3b,$$ то есть $$2a=b,$$ получаем числа $$12,\ 24,\ 36,\ 48$$;

при $$z=5$$: $$5a=4b,$$ получаем $$a=4,\ b=5$$, число $$45$$.

Итак, подходят числа $$12,\ 18,\ 24,\ 27,\ 36,\ 45,\ 48.$$

Ответ

а) $$\frac{5}{7} > \frac{4}{9}$$; б) $$\frac{38}{39} > \frac{11}{12}$$; в) $$3{,}12 < 3\frac{1}{8}$$; г) $$17{,}2(7) > 17{,}27$$; $$\overline{ab}=12,\ 18,\ 24,\ 27,\ 36,\ 45,\ 48.$$