Упр.1112 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

(9 — 4a^2)(4a/(2a — 3) — 1) при a = -1,2.
Найдите корни уравнения x2-2x-2/x+1/x2-13=0.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$ (9-4a^2)\left(\frac{4a}{2a-3}-1\right) =(9-4a^2)\cdot \frac{4a-(2a-3)}{2a-3} $$
$$ =(9-4a^2)\cdot \frac{2a+3}{2a-3} =\frac{-(4a^2-9)(2a+3)}{2a-3} $$
$$ =\frac{-(2a-3)(2a+3)(2a+3)}{2a-3} =-(2a+3)^2. $$

При $$a=-1{,}2$$ получаем:

$$ -(2a+3)^2=-\bigl(2\cdot(-1{,}2)+3\bigr)^2 =-(-2{,}4+3)^2 =-(0{,}6)^2=-0{,}36. $$

2) Решим уравнение:

$$ x^2-2x-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-13=0. $$

Преобразуем его:

$$ \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(2x+\frac{2}{x}\right)-13=0 $$
$$ \left(x^2+2x\cdot\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)-2\left(x+\frac{1}{x}\right)-13=0 $$
$$ \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\left(x+\frac{1}{x}\right)-15=0. $$

Пусть $$x+\frac{1}{x}=y$$. Тогда

$$ y^2-2y-15=0 $$
$$ (y-5)(y+3)=0. $$

Отсюда $$y=5$$ или $$y=-3$$.

1) Если $$x+\frac{1}{x}=5$$, то

$$ x^2-5x+1=0, $$
$$ x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}. $$

2) Если $$x+\frac{1}{x}=-3$$, то

$$ x^2+3x+1=0, $$
$$ x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}. $$