Упр.1108 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) y = (x — v(x + 6))/(x + 5); б) y = (4x^2 + 25x)/(2x — v(10 — 6x)). Докажите, что уравнение х4 — 5х3 — 4х2 — 7х + 4 = 0 не имеет отрицательных корней.

а) $$y=\frac{x-\sqrt{x+6}}{x+5}$$

Найдём область определения:

$$x+6\ge 0 \Rightarrow x\ge -6,$$
$$x+5\ne 0 \Rightarrow x\ne -5.$$

Значит,

$$D(y)=[-6;-5)\cup(-5;+\infty).$$

Нули функции найдём из уравнения

$$x-\sqrt{x+6}=0,$$
$$x=\sqrt{x+6}.$$

Так как правая часть неотрицательна, то $$x\ge 0.$$ Возведём в квадрат:

$$x^2=x+6,$$
$$x^2-x-6=0,$$
$$ (x-3)(x+2)=0.$$

Получаем $$x=3$$ или $$x=-2.$$

Число $$x=-2$$ не подходит, так как $$x\ge 0.$$ Следовательно, нуль функции:

$$x=3.$$

б) $$y=\frac{4x^2+25x}{2x-\sqrt{10-6x}}$$

Найдём область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — ненулевым:

$$10-6x\ge 0 \Rightarrow x\le \frac53,$$
$$2x-\sqrt{10-6x}\ne 0.$$

Решим уравнение, при котором знаменатель обращается в нуль:

$$2x=\sqrt{10-6x}.$$

Правая часть неотрицательна, значит $$x\ge 0.$$ Возведём в квадрат:

$$4x^2=10-6x,$$
$$4x^2+6x-10=0,$$
$$2x^2+3x-5=0,$$
$$ (2x+5)(x-1)=0.$$

Отсюда $$x=-\frac52$$ или $$x=1.$$ С учётом $$x\ge 0$$ подходит только $$x=1.$$ Его нужно исключить.

Итак,

$$D(y)=(-\infty;1)\cup\left(1;\frac53\right].$$

Нули функции найдём из уравнения

$$4x^2+25x=0,$$
$$x(4x+25)=0.$$

Тогда

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=-\frac{25}{4}.$$

Оба значения принадлежат области определения, значит нули функции:

$$x=0,\; x=-\frac{25}{4}.$$

Докажем, что уравнение $$x^4-5x^3-4x^2-7x+4=0$$ не имеет отрицательных корней.

Преобразуем левую часть:

$$x^4-5x^3-4x^2-7x+4=0,$$
$$x^4-4x^2+4=5x^3+7x,$$
$$ (x^2-2)^2=x(5x^2+7).$$

Если $$x<0,$$ то правая часть $$x(5x^2+7)<0,$$ так как $$5x^2+7>0.$$ Левая часть $$ (x^2-2)^2\ge 0.$$ Получаем противоречие.

Следовательно, отрицательных корней уравнение не имеет.

Ответ

а) $$D(y)=[-6;-5)\cup(-5;+\infty),$$ нуль функции: $$x=3.$$
б) $$D(y)=(-\infty;1)\cup\left(1;\frac53\right],$$ нули функции: $$x=0,\; x=-\frac{25}{4}.$$
Уравнение $$x^4-5x^3-4x^2-7x+4=0$$ не имеет отрицательных корней.