Упр.1092 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

p = {21 + 20, если 0 ? t < 40, 100, если 40 ? t ? 60, -2/3 t + 140, если 60 < t ? 150. 1) Определите, как изменялась температура воды в каждом из указанных промежутков времени. 2) Постройте график функции p = f(t). 3) Обсудите, какой физический смысл имеет процесс, описанный функцией p = f(t), в каждом из промежутков времени [0; 40); [40; 60]; (60; 150]. Корни х1 и х2 уравнения nх2 - 5х + 1 = 0 связаны соотношением х1^-2 + х2^-2 =13. Найдите n.

1) По формуле видно, что:

$$ p= \begin{cases} 2t+20, & 0 \le t < 40,\\ 100, & 40 \le t \le 60,\\ -\dfrac{2}{3}t+140, & 60 < t \le 150. \end{cases} $$

На первом промежутке температура возрастает: при $$t=0$$ имеем $$p=20^\circ\text{C}$$, а при $$t=40$$ получаем $$p=100^\circ\text{C}$$.

На втором промежутке температура постоянна и равна $$100^\circ\text{C}$$.

На третьем промежутке температура убывает: при $$t=60$$ имеем $$p=100^\circ\text{C}$$, а при $$t=150$$ получаем $$p=40^\circ\text{C}$$.

2) График функции состоит из трёх частей:

• отрезок прямой от точки $$\left(0;20\right)$$ до точки $$\left(40;100\right)$$;
• горизонтальный отрезок $$p=100$$ при $$40 \le t \le 60$$;
• отрезок прямой от точки $$\left(60;100\right)$$ до точки $$\left(150;40\right)$$.

3) Физический смысл процесса:

• при $$0 \le t < 40$$ вода нагревалась;
• при $$40 \le t \le 60$$ вода кипела, температура не менялась;
• при $$60 < t \le 150$$ вода остывала.

Теперь решим уравнение. Для корней $$x_1$$ и $$x_2$$ уравнения

$$ nx^2-5x+1=0 $$

по теореме Виета:

$$ x_1+x_2=\frac{5}{n}, \qquad x_1x_2=\frac{1}{n}. $$

Используем условие:

$$ x_1^{-2}+x_2^{-2}=13. $$

Тогда

$$ x_1^{-2}+x_2^{-2}=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2} =\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}. $$

Подставим значения:

$$ \frac{\left(\frac{5}{n}\right)^2-2\cdot\frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2}=13. $$

$$ \frac{\frac{25}{n^2}-\frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}}=13 $$

$$ 25-2n=13 $$

$$ 2n=12 $$

$$ n=6. $$

Ответ

1) При $$0 \le t < 40$$ температура повышалась с $$20^\circ\text{C}$$ до $$100^\circ\text{C}$$; при $$40 \le t \le 60$$ не изменялась; при $$60 < t \le 150$$ понижалась с $$100^\circ\text{C}$$ до $$40^\circ\text{C}$$.
2) График — ломаная через точки $$\left(0;20\right)$$, $$\left(40;100\right)$$, $$\left(60;100\right)$$, $$\left(150;40\right)$$.
3) Вода нагревалась, затем кипела, затем остывала.
$$n=6$$