Упр.1081 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) f(x) = 2x — 1, где 1 ? x ? 4;
б) g(x) = -3x + 8, где -2 ? x ? 5.
Представьте в виде дроби выражение:
а) xy^-2 — x^-2y;
б) (x/y)^-1 + (x/y)^-2;
в) mn(n-m)^-2 — n(m-n)^-1;
г) (x^-1 + y^-1)(x^-1 — y^-1).
а) $$f(x)=2x-1,\quad 1\le x\le 4.$$
Функция линейная и возрастает, значит наименьшее значение она принимает при $$x=1,$$ а наибольшее — при $$x=4.$$
$$f(1)=2\cdot 1-1=1,$$
$$f(4)=2\cdot 4-1=7.$$
Следовательно, множество значений функции:
$$1\le y\le 7.$$
б) $$g(x)=-3x+8,\quad -2\le x\le 5.$$
Функция линейная и убывает, значит наибольшее значение она принимает при $$x=-2,$$ а наименьшее — при $$x=5.$$
$$g(-2)=-3\cdot(-2)+8=14,$$
$$g(5)=-3\cdot 5+8=-7.$$
Следовательно, множество значений функции:
$$-7\le y\le 14.$$
а) $$xy^{-2}-x^{-2}y=\frac{x}{y^2}-\frac{y}{x^2}=\frac{x^3-y^3}{x^2y^2}.$$
б) $$\left(\frac{x}{y}\right)^{-1}+\left(\frac{x}{y}\right)^{-2}=\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}=\frac{xy+y^2}{x^2}.$$
в) $$mn(n-m)^{-2}-n(m-n)^{-1}=\frac{mn}{(n-m)^2}-\frac{n}{m-n}.$$
Так как $$n-m=-(m-n),$$ то $$\frac{mn}{(n-m)^2}=\frac{mn}{(m-n)^2}.$$ Тогда
$$\frac{mn}{(m-n)^2}-\frac{n}{m-n} =\frac{mn-n(m-n)}{(m-n)^2} =\frac{mn-mn+n^2}{(m-n)^2} =\frac{n^2}{(m-n)^2}.$$
г) $$\left(x^{-1}+y^{-1}\right)\left(x^{-1}-y^{-1}\right)=\left(\frac1x+\frac1y\right)\left(\frac1x-\frac1y\right).$$
Используем формулу разности квадратов:
$$\left(\frac1x\right)^2-\left(\frac1y\right)^2=\frac1{x^2}-\frac1{y^2} =\frac{y^2-x^2}{x^2y^2}.$$
Ответ
а) $$1\le y\le 7$$; б) $$-7\le y\le 14$$; а) $$\frac{x^3-y^3}{x^2y^2}$$; б) $$\frac{xy+y^2}{x^2}$$; в) $$\frac{n^2}{(m-n)^2}$$; г) $$\frac{y^2-x^2}{x^2y^2}$$.
