Упр.1078 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) g(-4), g(-1), g(1), g(5);
б) значения x, при которых g(x) = 4, g(x) = -4, g(x) = 0;
в) наибольшее и наименьшее значения функции;
г) множество значений функции.
Как изменится дисперсия ряда чисел
х1, х2, х3, х4, х5, х6,
если каждое число увеличить на положительное число а? Проверьте результат на примере ряда 1, 3, 6, 8, -1, -2 и а = 4. Выскажите предположение и проведите доказательство.

а) По графику получаем:

$$g(-4)=-3,\quad g(-1)=-2,\quad g(1)=3,\quad g(5)=3.$$

б) Значения аргумента, при которых функция принимает заданные значения:

$$g(x)=4 \text{ при } x\approx 1{,}3 \text{ и } x\approx 4{,}7;$$

$$g(x)=-4 \text{ при } x=-3;$$

$$g(x)=0 \text{ при } x\approx -5 \text{ и } x=0.$$

в) Наибольшее и наименьшее значения функции:

$$y_{\max}=6,\qquad y_{\min}=-4.$$

г) Множество значений функции:

$$[-4;6].$$

Теперь рассмотрим изменение дисперсии при прибавлении к каждому числу одного и того же положительного числа $$a$$.

Пусть были числа $$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6.$$ Тогда стали числа $$x_1+a,\ x_2+a,\ x_3+a,\ x_4+a,\ x_5+a,\ x_6+a.$$

Среднее арифметическое увеличится на $$a$$:

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6},$$

$$\overline{x}’=\frac{(x_1+a)+(x_2+a)+(x_3+a)+(x_4+a)+(x_5+a)+(x_6+a)}{6}=\overline{x}+a.$$

Тогда отклонения от нового среднего не изменятся:

$$\bigl(x_i+a-\overline{x}’\bigr)=x_i-\overline{x}\quad (i=1,\dots,6).$$

Следовательно, дисперсия не изменится.

Проверим на примере ряда $$1,3,6,8,-1,-2$$ при $$a=4$$.

Были числа: $$1,3,6,8,-1,-2.$$

Стали числа: $$5,7,10,12,3,2.$$

Найдём среднее арифметическое исходного ряда:

$$\overline{x}=\frac{1+3+6+8+(-1)+(-2)}{6}=\frac{15}{6}=2{,}5.$$

Отклонения:

$$1-2{,}5=-1{,}5,\quad 3-2{,}5=0{,}5,\quad 6-2{,}5=3{,}5,$$

$$8-2{,}5=5{,}5,\quad -1-2{,}5=-3{,}5,\quad -2-2{,}5=-4{,}5.$$

Дисперсия исходного ряда:

$$D=\frac{(-1{,}5)^2+(0{,}5)^2+(3{,}5)^2+(5{,}5)^2+(-3{,}5)^2+(-4{,}5)^2}{6}=\frac{95{,}5}{6}.$$

Для нового ряда среднее:

$$\overline{x}’=\frac{5+7+10+12+3+2}{6}=\frac{39}{6}=6{,}5.$$

Отклонения от нового среднего:

$$5-6{,}5=-1{,}5,\quad 7-6{,}5=0{,}5,\quad 10-6{,}5=3{,}5,$$

$$12-6{,}5=5{,}5,\quad 3-6{,}5=-3{,}5,\quad 2-6{,}5=-4{,}5.$$

Они такие же, значит, и дисперсия та же самая.

Итак, при прибавлении одного и того же числа к каждому элементу ряда дисперсия не изменяется.

Ответ

а) $$g(-4)=-3,\ g(-1)=-2,\ g(1)=3,\ g(5)=3.$$

б) $$g(x)=4$$ при $$x\approx 1{,}3$$ и $$x\approx 4{,}7$$; $$g(x)=-4$$ при $$x=-3$$; $$g(x)=0$$ при $$x\approx -5$$ и $$x=0$$.

в) $$y_{\max}=6,\ y_{\min}=-4.$$

г) $$[-4;6].$$

Дисперсия не изменится.