Упр.1078 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) По графику получаем:

$$g(-4)=-3,\quad g(-1)=-2,\quad g(1)=3,\quad g(5)=3.$$

б) Значения аргумента, при которых функция принимает заданные значения:

$$g(x)=4 \text{ при } x\approx 1{,}3 \text{ и } x\approx 4{,}7;$$

$$g(x)=-4 \text{ при } x=-3;$$

$$g(x)=0 \text{ при } x\approx -5 \text{ и } x=0.$$

в) Наибольшее и наименьшее значения функции:

$$y_{\max}=6,\qquad y_{\min}=-4.$$

г) Множество значений функции:

$$[-4;6].$$

Теперь рассмотрим изменение дисперсии при прибавлении к каждому числу одного и того же положительного числа $$a$$.

Пусть были числа $$x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6.$$ Тогда стали числа $$x_1+a,\ x_2+a,\ x_3+a,\ x_4+a,\ x_5+a,\ x_6+a.$$

Среднее арифметическое увеличится на $$a$$:

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5+x_6}{6},$$

$$\overline{x}’=\frac{(x_1+a)+(x_2+a)+(x_3+a)+(x_4+a)+(x_5+a)+(x_6+a)}{6}=\overline{x}+a.$$

Тогда отклонения от нового среднего не изменятся:

$$\bigl(x_i+a-\overline{x}’\bigr)=x_i-\overline{x}\quad (i=1,\dots,6).$$

Следовательно, дисперсия не изменится.

Проверим на примере ряда $$1,3,6,8,-1,-2$$ при $$a=4$$.

Были числа: $$1,3,6,8,-1,-2.$$

Стали числа: $$5,7,10,12,3,2.$$

Найдём среднее арифметическое исходного ряда:

$$\overline{x}=\frac{1+3+6+8+(-1)+(-2)}{6}=\frac{15}{6}=2{,}5.$$

Отклонения:

$$1-2{,}5=-1{,}5,\quad 3-2{,}5=0{,}5,\quad 6-2{,}5=3{,}5,$$

$$8-2{,}5=5{,}5,\quad -1-2{,}5=-3{,}5,\quad -2-2{,}5=-4{,}5.$$

Дисперсия исходного ряда:

$$D=\frac{(-1{,}5)^2+(0{,}5)^2+(3{,}5)^2+(5{,}5)^2+(-3{,}5)^2+(-4{,}5)^2}{6}=\frac{95{,}5}{6}.$$

Для нового ряда среднее:

$$\overline{x}’=\frac{5+7+10+12+3+2}{6}=\frac{39}{6}=6{,}5.$$

Отклонения от нового среднего:

$$5-6{,}5=-1{,}5,\quad 7-6{,}5=0{,}5,\quad 10-6{,}5=3{,}5,$$

$$12-6{,}5=5{,}5,\quad 3-6{,}5=-3{,}5,\quad 2-6{,}5=-4{,}5.$$

Они такие же, значит, и дисперсия та же самая.

Итак, при прибавлении одного и того же числа к каждому элементу ряда дисперсия не изменяется.

Ответ

а) $$g(-4)=-3,\ g(-1)=-2,\ g(1)=3,\ g(5)=3.$$

б) $$g(x)=4$$ при $$x\approx 1{,}3$$ и $$x\approx 4{,}7$$; $$g(x)=-4$$ при $$x=-3$$; $$g(x)=0$$ при $$x\approx -5$$ и $$x=0$$.

в) $$y_{\max}=6,\ y_{\min}=-4.$$

г) $$[-4;6].$$

Дисперсия не изменится.