Упр.1074 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) y = (x^2 — 9)/(6 + 2x); б) y = (4 — x^2)/(x^2 + 2x). Составьте какой-либо ряд, состоящий из пяти чисел. Найдите для него:
а) среднее арифметическое;
б) дисперсию;
в) среднее квадратичное отклонение.

а) Упростим выражение:

$$ y=\frac{x^2-9}{6+2x}=\frac{(x-3)(x+3)}{2(x+3)}=\frac{x-3}{2}=0{,}5x-1{,}5. $$

Но при этом знаменатель не должен обращаться в нуль:

$$ 6+2x\ne 0 \Rightarrow x\ne -3. $$

Значит, область определения:

$$ D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty). $$

График — прямая $$y=0{,}5x-1{,}5$$ с выколотой точкой при $$x=-3$$, то есть в точке $$(-3;-3)$$.

б) Упростим выражение:

$$ y=\frac{4-x^2}{x^2+2x}=\frac{(2-x)(2+x)}{x(x+2)}=\frac{2-x}{x}=\frac{2}{x}-1. $$

При этом:

$$ x^2+2x\ne 0 \Rightarrow x(x+2)\ne 0 \Rightarrow x\ne 0,\; x\ne -2. $$

Следовательно, область определения:

$$ D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(0;+\infty). $$

График — гипербола $$y=\frac{2}{x}-1$$ с выколотой точкой при $$x=-2$$, то есть в точке $$(-2;-2)$$, и разрывом при $$x=0$$.

2. Возьмём, например, ряд чисел: $$-5,\,-3,\,0,\,10,\,15.$$

Среднее арифметическое:

$$ \overline{x}=\frac{-5-3+0+10+15}{5}=\frac{17}{5}=3{,}4. $$

Найдём отклонения от среднего и их квадраты:

$$ -5-3{,}4=-8{,}4,\quad -3-3{,}4=-6{,}4,\quad 0-3{,}4=-3{,}4, $$

$$ 10-3{,}4=6{,}6,\quad 15-3{,}4=11{,}6. $$

Сумма квадратов отклонений:

$$ (-8{,}4)^2+(-6{,}4)^2+(-3{,}4)^2+6{,}6^2+11{,}6^2 =70{,}56+40{,}96+11{,}56+43{,}56+134{,}56=301{,}2. $$

Дисперсия:

$$ D=\frac{301{,}2}{5}=60{,}24. $$

Среднее квадратичное отклонение:

$$ \sigma=\sqrt{60{,}24}\approx 7{,}76. $$

Ответ

а) $$D(y)=(-\infty;-3)\cup(-3;+\infty)$$, график — прямая $$y=0{,}5x-1{,}5$$ с выколотой точкой $$(-3;-3)$$;
б) $$D(y)=(-\infty;-2)\cup(-2;0)\cup(0;+\infty)$$, график — $$y=\frac{2}{x}-1$$ с выколотой точкой $$(-2;-2)$$ и разрывом при $$x=0$$;
для ряда $$-5,\,-3,\,0,\,10,\,15$$: $$\overline{x}=3{,}4$$, $$D=60{,}24$$, $$\sigma\approx 7{,}76$$.