Упр.1071 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) y = 4х — 8; в) y = 2x/(5 — x); д) у = 1/(x^2 + 1);
б) y = х^2 — 5х + 1; г) y = 3/((x — 4)(x + 1)); е) y = v(x — 5).
Дана функция
y= система
x^-1, если х < -1/2, 4x, если х -1/2<=x<=1/2, x^-1, если x>1/2.
Сколько корней имеет уравнение:
а) У = 2;
б) у = 1/3;
в) у = 0;
г) у = -3?

Найдём, при каких значениях x функция имеет смысл.

1. а) $$y=4x-8.$$

   Это линейная функция, она определена при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

2. б) $$y=x^2-5x+1.$$

   Это многочлен, значит, область определения — все действительные числа.

3. в) $$y=\frac{2x}{5-x}.$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$5-x\ne 0 \Rightarrow x\ne 5.$$

4. г) $$y=\frac{3}{(x-4)(x+1)}.$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$ (x-4)(x+1)\ne 0 \Rightarrow x\ne 4,\; x\ne -1.$$

5. д) $$y=\frac{1}{x^2+1}.$$

   Так как $$x^2\ge 0,$$ то $$x^2+1>0$$ при любом $$x.$$ Следовательно, функция определена при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

6. е) $$y=\sqrt{x-5}.$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x-5\ge 0 \Rightarrow x\ge 5.$$

Рассмотрим функцию

$$ y= \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x<-\dfrac12,\\[4pt] 4x, & -\dfrac12\le x\le \dfrac12,\\[4pt] \dfrac{1}{x}, & x>\dfrac12. \end{cases} $$

Найдём число корней уравнения $$y=a$$ для разных значений $$a.$$

1. а) $$y=2.$$

   На среднем участке $$4x=2 \Rightarrow x=\dfrac12,$$ и эта точка входит в область определения. На ветвях $$\dfrac1x=2$$ решений нет. Значит, корень один.

2. б) $$y=\dfrac13.$$

   На левом участке $$\dfrac1x=\dfrac13 \Rightarrow x=3,$$ но это не подходит, так как там должно быть $$x<-\dfrac12.$$

   На среднем участке $$4x=\dfrac13 \Rightarrow x=\dfrac1{12},$$ подходит.

   На правом участке $$\dfrac1x=\dfrac13 \Rightarrow x=3,$$ подходит.

   Итак, корней два.

3. в) $$y=0.$$

   Уравнение $$\dfrac1x=0$$ решений не имеет, а $$4x=0 \Rightarrow x=0,$$ и это значение подходит. Значит, корень один.

4. г) $$y=-3.$$

   Уравнения $$\dfrac1x=-3$$ и $$4x=-3$$ дают значения $$x=-\dfrac13$$ и $$x=-\dfrac34,$$ но они не удовлетворяют соответствующим промежуткам. Следовательно, корней нет.

Ответ

а) $$D(y)=\mathbb{R}$$; б) $$D(y)=\mathbb{R}$$; в) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{5\}$$; г) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-1,4\}$$; д) $$D(y)=\mathbb{R}$$; е) $$D(y)=[5;+\infty).$$

Для заданной кусочной функции: а) один корень; б) два корня; в) один корень; г) корней нет.