Упр.1064 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что прямая у = -х + l, где l — некоторое положительное число, и гипербола у = х^-1:
а) имеют две общие точки, если l > 2;
б) имеют одну общую точку, если l = 2;
в) не имеют общих точек, если l < 2.

Подробный ответ

Вычислим значения функции $$f(x)=\frac{x-0,5}{x+0,5}$$.

$$f(0)=\frac{0-0,5}{0+0,5}=\frac{-0,5}{0,5}=-1,$$
$$f(1,5)=\frac{1,5-0,5}{1,5+0,5}=\frac{1}{2}=0,5,$$
$$f(-1)=\frac{-1-0,5}{-1+0,5}=\frac{-1,5}{-0,5}=3.$$

Теперь докажем утверждение о прямой $$y=-x+l$$ и гиперболе $$y=\frac{1}{x}$$.

Точки пересечения удовлетворяют уравнению

$$-x+l=\frac{1}{x}, \quad x\neq 0.$$

Умножим на $$x$$:

$$-x^2+lx=1,$$
$$x^2-lx+1=0.$$

Дискриминант этого квадратного уравнения равен

$$D=l^2-4.$$

Тогда:

если $$l>2$$, то $$D=l^2-4>0$$, значит, уравнение имеет два корня, а графики — две общие точки;
если $$l=2$$, то $$D=0$$, значит, уравнение имеет один корень, а графики — одну общую точку;
если $$l<2$$, то $$D=l^2-4<0$$, значит, действительных корней нет, и общих точек нет.