Упр.1063 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) f(-1); б) f(0); в) f(1/3). Постройте в одной системе координат графики функций у = х и у = х^-1. Выясните, при каких значениях аргумента верны равенство х = х^-1 и неравенства х > х^-1 и х < х^-1 в случае, если: а) х > 0;
б) х<0.

Дана функция $$f(x)=-3x^2+10.$$ Подставим заданные значения аргумента:

$$ f(-1)=-3\cdot(-1)^2+10=-3+10=7 $$
$$ f(0)=-3\cdot 0^2+10=10 $$
$$ f\left(\frac13\right)=-3\cdot\left(\frac13\right)^2+10=-3\cdot\frac19+10=-\frac13+10=9\frac23 $$

Для графиков функций $$y=x$$ и $$y=x^{-1}=\frac1x$$ строим прямую $$y=x$$ и гиперболу $$y=\frac1x$$. Точки их пересечения найдём из уравнения

$$ x=\frac1x $$
$$ x^2=1 $$
$$ x=\pm 1 $$

Значит, равенство $$x=x^{-1}$$ верно при $$x=\pm1$$.

Чтобы сравнить $$x$$ и $$x^{-1}$$, рассмотрим разность:

$$ x-\frac1x=\frac{x^2-1}{x}=\frac{(x-1)(x+1)}{x} $$

1) Если $$x>0$$, то знаменатель положителен, поэтому знак разности определяется числителем:

$$ x=\frac1x \text{ при } x=1 $$
$$ x>\frac1x \text{ при } x>1 $$
$$ x<\frac1x \text{ при } 0<x<1 $$

2) Если $$x<0$$, то знаменатель отрицателен, поэтому знак неравенства меняется:

$$ x=\frac1x \text{ при } x=-1 $$
$$ x>\frac1x \text{ при } -1<x<0 $$
$$ x<\frac1x \text{ при } x<-1 $$

Ответ

а) $$7$$; б) $$10$$; в) $$9\frac23$$.
$$x=\frac1x$$ при $$x=\pm1$$.
При $$x>0$$: $$x>x^{-1}$$ при $$x>1$$, $$x<x^{-1}$$ при $$0<x<1$$.
При $$x<0$$: $$x>x^{-1}$$ при $$-1<x<0$$, $$x<x^{-1}$$ при $$x<-1$$.