Упр.1060 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

х2 — (2b- 2)х + b2 — 2b = О имеет два корня, принадлежащие интервалу (-5; 5)? Сравните значения выражений:
а) 5 корень 2 + 3 корень 5 и 3 корень 7 + корень 45;
б) 6 корень 2 — 2 корень 7 и 4 корень 3 — корень 28;
в) 5 корень 3 + 3 корень 5 и корень 75 + 7 корень 2;
г) корень 112 — 2 корень 5 и 4 корень 7 — корень 23.

1. Рассмотрим уравнение

   $$x^2-(2b-2)x+b^2-2b=0.$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(2b-2)^2-4(b^2-2b)=4b^2-8b+4-4b^2+8b=4.$$

   Так как $$D>0,$$ уравнение имеет два различных корня.

   Найдём их:

   $$x_{1,2}=\frac{2b-2\pm 2}{2}=b-1\pm 1,$$

   то есть

   $$x_1=b,\qquad x_2=b-2.$$

   Оба корня должны принадлежать интервалу $$(-5;5).$$ Тогда

   $$-5<b<5,$$

   $$-5<b-2<5.$$

   Из второго неравенства получаем:

   $$-3<b<7.$$

   Пересечение условий:

   $$(-5;5)\cap(-3;7)=(-3;5).$$

2. Сравним выражения.

   а)

   $$\sqrt{45}=3\sqrt{5},\qquad \sqrt{63}=3\sqrt{7}.$$

   Тогда

   $$5\sqrt{2}+3\sqrt{5}=\sqrt{50}+\sqrt{45},$$

   $$3\sqrt{7}+\sqrt{45}=\sqrt{63}+\sqrt{45}.$$

   Так как $$\sqrt{50}<\sqrt{63},$$ то

   $$5\sqrt{2}+3\sqrt{5}<3\sqrt{7}+\sqrt{45}.$$

   б)

   $$2\sqrt{7}=\sqrt{28},\qquad 4\sqrt{3}=\sqrt{48},\qquad 6\sqrt{2}=\sqrt{72}.$$

   Сравниваем:

   $$6\sqrt{2}-2\sqrt{7}=\sqrt{72}-\sqrt{28},$$

   $$4\sqrt{3}-\sqrt{28}=\sqrt{48}-\sqrt{28}.$$

   Так как $$\sqrt{72}>\sqrt{48},$$ то

   $$6\sqrt{2}-2\sqrt{7}>4\sqrt{3}-\sqrt{28}.$$

   в)

   $$5\sqrt{3}=\sqrt{75},\qquad 3\sqrt{5}=\sqrt{45},\qquad 7\sqrt{2}=\sqrt{98}.$$

   Тогда

   $$5\sqrt{3}+3\sqrt{5}=\sqrt{75}+\sqrt{45},$$

   $$\sqrt{75}+7\sqrt{2}=\sqrt{75}+\sqrt{98}.$$

   Так как $$\sqrt{45}<\sqrt{98},$$ то

   $$5\sqrt{3}+3\sqrt{5}<\sqrt{75}+7\sqrt{2}.$$

   г)

   $$\sqrt{112}=4\sqrt{7},\qquad 2\sqrt{5}=\sqrt{20}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{112}-2\sqrt{5}=4\sqrt{7}-\sqrt{20},$$

   $$4\sqrt{7}-\sqrt{23}=4\sqrt{7}-\sqrt{23}.$$

   Так как $$\sqrt{20}<\sqrt{23},$$ то

   $$\sqrt{112}-2\sqrt{5}>4\sqrt{7}-\sqrt{23}.$$

Ответ

При $$b\in(-3;5)$$ уравнение имеет два корня, принадлежащие интервалу $$(-5;5).$$

а) $$5\sqrt{2}+3\sqrt{5}<3\sqrt{7}+\sqrt{45}$$;

б) $$6\sqrt{2}-2\sqrt{7}>4\sqrt{3}-\sqrt{28}$$;

в) $$5\sqrt{3}+3\sqrt{5}<\sqrt{75}+7\sqrt{2}$$;

г) $$\sqrt{112}-2\sqrt{5}>4\sqrt{7}-\sqrt{23}$$.