Упр.1059 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

х2 — 4ах + 4а2 — 25 =0 имеет два корня, каждый из которых больше 2? Решите систему неравенств

Рассмотрим уравнение

$$x^2-4ax+4a^2-25=0.$$

Чтобы уравнение имело два корня, нужно, чтобы дискриминант был положительным:

$$D=(-4a)^2-4\cdot 1\cdot (4a^2-25)=16a^2-16a^2+100=100>0.$$

Значит, при любом $a$ уравнение имеет два корня.

Найдём корни:

$$x_{1,2}=\frac{4a\pm 10}{2}=2a\pm 5.$$

По условию каждый корень больше $2$, значит:

$$ \begin{cases} 2a+5>2,\\ 2a-5>2. \end{cases} $$

Решаем систему:

$$ \begin{cases} 2a>-3,\\ 2a>7, \end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad a>\frac{7}{2}. $$

Следовательно,

$$a\in\left(\frac{7}{2};+\infty\right).$$

Ответ

$$a\in\left(\frac{7}{2};+\infty\right).$$