Упр.104 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

1/(x+n) — 1/(x+n+1) = 1/(x+n)(x+n+1).
Используя это тождество, упростите выражение
1/(х + 1)(x + 2) + 1/(х + 2)(х + 3) 1/(х + 3)(х + 4)
Туристы прошли s км по шоссе со скоростью v км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени t (ч) затратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите t при s = 10, v = 6.

Подробный ответ

Докажем тождество:

$$\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{x+n+1-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}.$$

Тождество доказано.

Используем его для упрощения выражения:

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}$$

Представим каждую дробь как разность:

$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}+\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}.$$

Сокращая, получаем:

$$\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}=\frac{x+4-(x+1)}{(x+1)(x+4)}=\frac{3}{(x+1)(x+4)}.$$

Теперь решим задачу о туристах. Пусть скорость по шоссе равна $$v$$ км/ч, тогда по просёлочной дороге скорость равна $$v-2$$ км/ч. Туристы прошли по шоссе $$s$$ км, а по просёлочной дороге — вдвое больший путь, то есть $$2s$$ км.

Тогда общее время:

$$t=\frac{s}{v}+\frac{2s}{v-2}.$$

При $$s=10$$ и $$v=6$$:

$$t=\frac{10}{6}+\frac{20}{4}=\frac{5}{3}+5=\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}\text{ ч}.$$

$$6\frac{2}{3}\text{ ч}=6\text{ ч }40\text{ мин}.$$