Упр.1027 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Старинная задача (из книги «Начала» Евклида). Докажите, что если $$a$$ — наибольшее число в пропорции $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, где $$a,b,c,d$$ — положительные числа, то верно неравенство $$a+d>b+c$$.
2. Замените $$a$$ каким-либо натуральным числом так, чтобы системы неравенств:
   
   а) $$\begin{cases}3x>40{,}8,\\5x-a<0;\end{cases}$$
   б) $$\begin{cases}1-6x<19,\\4x-a<6\end{cases}$$ не имели решений.

а) Решим систему неравенств:

$$\begin{cases} 3x>40{,}8,\\ 5x-a<0. \end{cases}$$

Из первого неравенства получаем:

$$x>13{,}6.$$

Из второго:

$$x<\frac{a}{5}.$$

Чтобы система не имела решений, нужно, чтобы не выполнялось условие пересечения промежутков:

$$13{,}6\ge \frac{a}{5}.$$

Тогда

$$a\le 68.$$

Подходит любое натуральное число, не превосходящее $$68$$, например $$a=5$$.

б) Решим систему неравенств:

$$\begin{cases} 1-6x<19,\\ 4x-a<6. \end{cases}$$

Из первого неравенства:

$$-6x<18,\qquad x>-3.$$

Из второго:

$$4x<6+a,\qquad x<\frac{6+a}{4}.$$

Чтобы система не имела решений, нужно, чтобы

$$\frac{6+a}{4}\le -3.$$

Тогда

$$6+a\le -12,\qquad a\le -18.$$

Но натуральных чисел, удовлетворяющих этому условию, нет. Значит, при натуральном $$a$$ система решений не имеет только тогда, когда верхняя граница меньше или равна нижней, то есть при невозможности пересечения промежутков. Для натурального $$a$$ это достигается, например, при $$a=1$$? Проверим:

$$x>-3,\qquad x<\frac{7}{4},$$

здесь решения есть. Следовательно, нужно взять такое натуральное $$a$$, чтобы

$$\frac{6+a}{4}\le -3$$

выполнялось, а это невозможно. Значит, в условии имеется в виду другое преобразование второго неравенства:

$$4x-a<6 \;\Rightarrow\; 4x<6+a \;\Rightarrow\; x<\frac{6+a}{4}.$$

Тогда система не имеет решений при

$$\frac{6+a}{4}\le -3,$$

то есть при

$$a\le -18.$$

Натурального значения $$a$$ здесь нет, поэтому для пункта б) натуральное число подобрать нельзя.

Ответ

а) любое натуральное $$a\le 68$$, например $$a=5$$;
б) натурального значения $$a$$ не существует.