Упр.1026 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) ac+b/c>= 2 корень ab;
б) (1+a2/bc)(1+b2/ac)(1+c2/ab)>=8. Найдите целые отрицательные значения х, которые являются решением неравенства (4-3x)/2 -х < 11.

а) По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел $$ac$$ и $$\frac{b}{c}$$ имеем:

$$ \frac{ac+\frac{b}{c}}{2}\ge \sqrt{ac\cdot \frac{b}{c}}=\sqrt{ab}. $$

Умножим обе части на $$2$$:

$$ ac+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{ab}. $$

б) Применим неравенство AM-GM к каждому множителю:

$$ 1+\frac{a^2}{bc}\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}}=\frac{2a}{\sqrt{bc}}, $$

$$ 1+\frac{b^2}{ac}\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}}=\frac{2b}{\sqrt{ac}}, $$

$$ 1+\frac{c^2}{ab}\ge 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}=\frac{2c}{\sqrt{ab}}. $$

Перемножим неравенства:

$$ \left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right) \ge \frac{2a}{\sqrt{bc}}\cdot \frac{2b}{\sqrt{ac}}\cdot \frac{2c}{\sqrt{ab}}=8. $$

Найдём целые отрицательные решения неравенства $$\frac{4-3x}{2}-x<11$$.

Умножим обе части на $$2$$:

$$ 4-3x-2x<22 $$

$$ 4-5x<22 $$

$$ -5x<18 $$

$$ x>-3{,}6. $$

Целые отрицательные числа, удовлетворяющие этому неравенству: $$-3,\,-2,\,-1$$.

Ответ

а) $$ac+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{ab}$$; б) $$\left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8$$; целые отрицательные решения: $$-3,\,-2,\,-1$$.