Упр.1026 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
- Используя соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, докажите, что при $$a>0,\ b>0,\ c>0$$ верно неравенство:
а) $$ac+\frac{b}{c}\geq 2\sqrt{ab}$$;
б) $$\left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\geq 8$$. - Найдите целые отрицательные значения $$x$$, которые являются решением неравенства $$\frac{4-3x}{2}-x<11$$.
а) По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел $$ac$$ и $$\frac{b}{c}$$ имеем:
$$\frac{ac+\frac{b}{c}}{2}\ge \sqrt{ac\cdot \frac{b}{c}}=\sqrt{ab}.$$
Умножим обе части на $$2$$:
$$ac+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{ab}.$$
б) Применим неравенство AM-GM к каждому множителю:
$$1+\frac{a^2}{bc}\ge 2\sqrt{\frac{a^2}{bc}}=\frac{2a}{\sqrt{bc}},$$
$$1+\frac{b^2}{ac}\ge 2\sqrt{\frac{b^2}{ac}}=\frac{2b}{\sqrt{ac}},$$
$$1+\frac{c^2}{ab}\ge 2\sqrt{\frac{c^2}{ab}}=\frac{2c}{\sqrt{ab}}.$$
Перемножим неравенства:
$$\left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right) \ge \frac{2a}{\sqrt{bc}}\cdot \frac{2b}{\sqrt{ac}}\cdot \frac{2c}{\sqrt{ab}}=8.$$
Найдём целые отрицательные решения неравенства $$\frac{4-3x}{2}-x<11$$.
Умножим обе части на $$2$$:
$$4-3x-2x<22$$
$$4-5x<22$$
$$-5x<18$$
$$x>-3{,}6.$$
Целые отрицательные числа, удовлетворяющие этому неравенству: $$-3,\,-2,\,-1$$.
Ответ
а) $$ac+\frac{b}{c}\ge 2\sqrt{ab}$$; б) $$\left(1+\frac{a^2}{bc}\right)\left(1+\frac{b^2}{ac}\right)\left(1+\frac{c^2}{ab}\right)\ge 8$$; целые отрицательные решения: $$-3,\,-2,\,-1$$.
