Упр.1025 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (a+b)(1/a+1/b)>=4;
б) a/b2 + b/b2 >=1/a+1/b. При каком значении m сумма корней уравнения Зх2 — 18х + m = 0 равна произведению этих корней?

а) Преобразуем левую часть:

$$ (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = (a+b)\cdot \frac{a+b}{ab} = \frac{(a+b)^2}{ab}. $$

Тогда

$$ \frac{(a+b)^2}{ab}-4 = \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0, $$

так как $$a>0$$ и $$b>0$$. Значит,

$$ (a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4. $$

б) Приведём к общему знаменателю:

$$ \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = \frac{a^3+b^3-ab(a+b)}{a^2b^2}. $$

Числитель преобразуем:

$$ a^3+b^3-ab(a+b) = a^3+b^3-a^2b-ab^2 = a^2(a-b)-b^2(a-b) = (a-b)(a^2-b^2) = (a-b)^2(a+b). $$

Следовательно,

$$ \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = \frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}\ge 0, $$

так как $$a>0$$, $$b>0$$. Значит,

$$ \frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}. $$

Найдём $$m$$. По теореме Виета для уравнения $$3x^2-18x+m=0$$:

$$ x_1+x_2=\frac{18}{3}=6,\qquad x_1x_2=\frac{m}{3}. $$

По условию $$x_1+x_2=x_1x_2$$, значит

$$ 6=\frac{m}{3}, $$

откуда

$$ m=18. $$

Ответ

а) верно; б) верно; $$m=18$$.