Упр.1025 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при $$a>0$$ и $$b>0$$ верно неравенство:
   а) $$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4$$;
   б) $$\frac{a}{b2}+\frac{b}{b2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$$.
2. При каком значении $$m$$ сумма корней уравнения $$3x^2-18x+m=0$$ равна произведению этих корней?

а) Преобразуем левую часть:

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = (a+b)\cdot \frac{a+b}{ab} = \frac{(a+b)^2}{ab}.$$

Тогда

$$\frac{(a+b)^2}{ab}-4 = \frac{a^2+2ab+b^2-4ab}{ab} = \frac{(a-b)^2}{ab}\ge 0,$$

так как $$a>0$$ и $$b>0$$. Значит,

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4.$$

б) Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = \frac{a^3+b^3-ab(a+b)}{a^2b^2}.$$

Числитель преобразуем:

$$a^3+b^3-ab(a+b) = a^3+b^3-a^2b-ab^2 = a^2(a-b)-b^2(a-b) = (a-b)(a^2-b^2) = (a-b)^2(a+b).$$

Следовательно,

$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) = \frac{(a-b)^2(a+b)}{a^2b^2}\ge 0,$$

так как $$a>0$$, $$b>0$$. Значит,

$$\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}.$$

Найдём $$m$$. По теореме Виета для уравнения $$3x^2-18x+m=0$$:

$$x_1+x_2=\frac{18}{3}=6,\qquad x_1x_2=\frac{m}{3}.$$

По условию $$x_1+x_2=x_1x_2$$, значит

$$6=\frac{m}{3},$$

откуда

$$m=18.$$

Ответ

а) верно; б) верно; $$m=18$$.