Упр.1024 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Используя выделение из трёхчлена квадрата двучлена, докажите неравенство:
   а) $$a^2+ab+b^2\ge 0$$;
   б) $$a^2-ab+b^2\ge 0$$.
2. Найдите значение выражения $$\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{7+4\sqrt{3}}$$.

а) Представим трёхчлен в виде квадрата двучлена:

$$a^2+ab+b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}.$$

Так как $$\left(a+\frac{b}{2}\right)^2 \ge 0$$ и $$\frac{3b^2}{4}\ge 0,$$ то

$$a^2+ab+b^2\ge 0.$$

б) Аналогично:

$$a^2-ab+b^2=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}.$$

Следовательно,

$$a^2-ab+b^2\ge 0.$$

Найдём значение выражения:

$$\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{7+4\sqrt{3}}.$$

Заметим, что

$$7+4\sqrt{3}=(2+\sqrt{3})^2,$$

так как

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^2=4+4\sqrt{3}+3=7+4\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1.$$

Ответ

а) $$a^2+ab+b^2\ge 0$$; б) $$a^2-ab+b^2\ge 0$$; $$\left(2-\sqrt{3}\right)\sqrt{7+4\sqrt{3}}=1.$$