Упр.102 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что при любых допустимых значениях переменной значение выражения:
а) б).
1. Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2. Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
3. Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).
Докажите тождество
$$\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}.$$
Используя это тождество, упростите выражение
$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}\ \frac{1}{(x+3)(x+4)}.$$

Подробный ответ

Докажем тождество:

$$\frac{1}{x+n}-\frac{1}{x+n+1}=\frac{(x+n+1)-(x+n)}{(x+n)(x+n+1)}=\frac{1}{(x+n)(x+n+1)}.$$

Что и требовалось доказать.

Используем это тождество:

$$\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\frac{1}{(x+3)(x+4)}$$

$$=\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)+\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{x+4}\right)$$

$$=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+4}=\frac{(x+4)-(x+1)}{(x+1)(x+4)}=\frac{3}{(x+1)(x+4)}.$$

При этом допустимые значения переменной: $$x\neq -1,\,-2,\,-3,\,-4.$$