Упр.1018 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

б) Докажите, что при у > 1 значение выражения (y2+3)/(y-1) — 2/y : (1/(y2-y) + (y-3)/(y2-1) положительно. Выразите:
а) 3,8 * 10^3 т в граммах;
б) 1,7 * 10^-4 км в сантиметрах;
в) 8,62 * 10^-1 кг в тоннах;
г) 5,24 * 10^5 см в метрах.

а) Рассмотрим выражение:

$$\left(\frac{a-3}{a+3}-\frac{a+3}{a-3}\right)\left(1+\frac{3}{a}\right)$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(a-3)^2-(a+3)^2}{(a+3)(a-3)}\cdot \frac{a+3}{a}$$

$$\frac{a^2-6a+9-a^2-6a-9}{(a+3)(a-3)}\cdot \frac{a+3}{a}$$

$$\frac{-12a}{(a+3)(a-3)}\cdot \frac{a+3}{a}=-\frac{12}{a-3}$$

Так как $$a>3,$$ то $$a-3>0,$$ значит

$$-\frac{12}{a-3}<0.$$

Следовательно, выражение отрицательно.

б) Рассмотрим выражение:

$$\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2}{y}:\left(\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}\right)$$

Преобразуем скобки:

$$\frac{1}{y^2-y}+\frac{y-3}{y^2-1}=\frac{1}{y(y-1)}+\frac{y-3}{(y-1)(y+1)}$$

$$=\frac{y+1+y^2-3y}{y(y-1)(y+1)}=\frac{y^2-2y+1}{y(y-1)(y+1)}=\frac{(y-1)^2}{y(y-1)(y+1)}$$

Тогда

$$\frac{2}{y}:\left(\frac{(y-1)^2}{y(y-1)(y+1)}\right)=\frac{2}{y}\cdot \frac{y(y-1)(y+1)}{(y-1)^2}=\frac{2(y+1)}{y-1}$$

Теперь всё выражение равно:

$$\frac{y^2+3}{y-1}-\frac{2(y+1)}{y-1}=\frac{y^2+3-2y-2}{y-1}=\frac{y^2-2y+1}{y-1}=\frac{(y-1)^2}{y-1}=y-1$$

При $$y>1$$ имеем $$y-1>0.$$ Значит, выражение положительно.

в) $$3{,}8\cdot 10^3\ \text{т}=3{,}8\cdot 10^3\cdot 10^6\ \text{г}=3{,}8\cdot 10^9\ \text{г}.$$

г) $$1{,}7\cdot 10^{-4}\ \text{км}=1{,}7\cdot 10^{-4}\cdot 10^5\ \text{см}=1{,}7\cdot 10^1\ \text{см}=17\ \text{см}.$$

д) $$8{,}62\cdot 10^{-1}\ \text{кг}=8{,}62\cdot 10^{-1}\cdot 10^{-3}\ \text{т}=8{,}62\cdot 10^{-4}\ \text{т}.$$

е) $$5{,}24\cdot 10^5\ \text{см}=5{,}24\cdot 10^5\cdot 10^{-2}\ \text{м}=5{,}24\cdot 10^3\ \text{м}.$$

Ответ

а) отрицательно; б) положительно; в) $$3{,}8\cdot 10^9\ \text{г}$$; г) $$17\ \text{см}$$; д) $$8{,}62\cdot 10^{-4}\ \text{т}$$; е) $$5{,}24\cdot 10^3\ \text{м}$$.