Упр.1017 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   а) $$а^2+b^2+2>2(а+b)$$;
   б) $$а^2+b^2+с^2+5>2(а+b+с)$$.
2. Масса Земли приближённо равна $$6\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$$ т, а масса атома водорода $$0{,}0000000000000000000017$$ г. Запишите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода.

а) Преобразуем левую часть:

$$a^2+b^2+2-2(a+b)=a^2-2a+1+b^2-2b+1=(a-1)^2+(b-1)^2.$$

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то

$$(a-1)^2+(b-1)^2\ge 0.$$

Значит,

$$a^2+b^2+2\ge 2(a+b).$$

б) Аналогично:

$$a^2+b^2+c^2+5-2(a+b+c)=a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1+2.$$

Тогда

$$a^2+b^2+c^2+5-2(a+b+c)=(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+2.$$

Поскольку

$$(a-1)^2\ge 0,\quad (b-1)^2\ge 0,\quad (c-1)^2\ge 0,\quad 2>0,$$

то

$$(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2+2>0.$$

Следовательно,

$$a^2+b^2+c^2+5>2(a+b+c).$$

Массу Земли и массу атома водорода запишем в стандартном виде:

$$6\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000=6\cdot 10^{21},$$

$$0{,}0000000000000000000017=1{,}7\cdot 10^{-21}.$$

Ответ

а) $$a^2+b^2+2\ge 2(a+b).$$

б) $$a^2+b^2+c^2+5>2(a+b+c).$$

Масса Земли: $$6\cdot 10^{21}\ \text{т}.$$ Масса атома водорода: $$1{,}7\cdot 10^{-21}\ \text{г}.$$