Упр.1013 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Велосипедист рассчитал, с какой скоростью он должен ехать из посёлка в город и обратно, чтобы, пробыв в городе полчаса, вернуться в посёлок к намеченному сроку. Однако на пути из посёлка в город он ехал со скоростью, на $$2\ \text{км/ч}$$ меньшей намеченной, а спустя полчаса возвращался из города в посёлок со скоростью, на $$2\ \text{км/ч}$$ большей намеченной. Успел ли велосипедист вернуться в посёлок к назначенному сроку?
Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:
а) $$1{,}2\cdot10^9$$; б) $$3{,}6\cdot10^3$$; в) $$2{,}7\cdot10^{-3}$$; г) $$6{,}3\cdot10^{-1}$$; д) $$4{,}42\cdot10^5$$; е) $$9{,}28\cdot10^{-4}$$.

Подробный ответ

Число, записанное в стандартном виде $$a \cdot 10^n$$, имеет порядок, равный показателю степени $$n$$.

Тогда:

а) $$1{,}2 \cdot 10^9$$ — порядок числа $$9$$;
б) $$3{,}6 \cdot 10^3$$ — порядок числа $$3$$;
в) $$2{,}7 \cdot 10^{-3}$$ — порядок числа $$-3$$;
г) $$6{,}3 \cdot 10^{-1}$$ — порядок числа $$-1$$;
д) $$4{,}42 \cdot 10^5$$ — порядок числа $$5$$;
е) $$9{,}28 \cdot 10^{-4}$$ — порядок числа $$-4$$.

В задаче про велосипедиста пусть $$x$$ км/ч — намеченная скорость. Тогда он ехал в посёлок со скоростью $$x-2$$ км/ч, а обратно — со скоростью $$x+2$$ км/ч.

Если расстояние между посёлком и городом равно $$S$$, то фактическое время в пути:

$$\frac{S}{x-2}+\frac{S}{x+2}+0{,}5$$

Планируемое время:

$$\frac{S}{x}+\frac{S}{x}+0{,}5=\frac{2S}{x}+0{,}5$$

Сравним эти выражения:

$$\frac{S}{x-2}+\frac{S}{x+2}+0{,}5-\left(\frac{2S}{x}+0{,}5\right)$$

$$=\frac{S(x+2)+S(x-2)}{x^2-4}-\frac{2S}{x} =\frac{2Sx}{x^2-4}-\frac{2S}{x}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{2Sx}{x^2-4}-\frac{2S}{x} =\frac{2Sx^2-2S(x^2-4)}{x(x^2-4)} =\frac{8S}{x(x^2-4)}$$

Так как $$x>2$$, то $$x(x^2-4)>0$$, значит

$$\frac{8S}{x(x^2-4)}>0$$

Следовательно, велосипедист затратил больше времени, чем планировал, и к назначенному сроку не успел.