Упр.1012 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1/ корень a < корень (a+1) - корень (a-1). Сократите дробь ac/abc. зная, что b = а + с.

Докажем неравенство

$$\frac{1}{\sqrt a}<\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}, \quad a>1.$$

Так как при $$a>1$$ все выражения определены и положительны, умножим обе части на $$\sqrt a$$:

$$1<\sqrt a\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right).$$

Преобразуем разность корней, умножив и разделив на сопряжённое выражение:

$$\sqrt a\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right)=\sqrt a\cdot \frac{(a+1)-(a-1)}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=\sqrt a\cdot \frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}.$$

Оценим знаменатель. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

$$\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{2}\le \sqrt{(a+1)(a-1)}=\sqrt{a^2-1}<a,$$

значит

$$\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}<2\sqrt a.$$

Тогда

$$\sqrt a\cdot \frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}>\sqrt a\cdot \frac{2}{2\sqrt a}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{1}{\sqrt a}<\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}.$$

Теперь сократим дробь

$$\frac{ac}{abc}, \quad \text{если } b=a+c.$$

Подставим $$b=a+c$$:

$$\frac{ac}{abc}=\frac{ac}{a(a+c)c}=\frac{1}{a+c}.$$

Но по условию $$b=a+c$$, значит

$$\frac{ac}{abc}=\frac{1}{b}.$$

Ответ

$$\frac{1}{\sqrt a}<\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}, \quad a>1; \qquad \frac{ac}{abc}=\frac{1}{a+c}=\frac{1}{b}.$$