Упр.1011 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

корень (4x + 1) + корень (4y + 1) + корень (4z + 1) <= 5. Найдите область определения функции:

Рассмотрим неравенство

$$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5,$$

если $$x+y+z=1.$$

Для каждого слагаемого используем неравенство

$$\sqrt{t}\le \frac{t+1}{2}, \quad t\ge 0,$$

которое следует из равенства

$$\left(\sqrt{t}-1\right)^2\ge 0.$$

Тогда

$$\sqrt{4x+1}\le \frac{(4x+1)+1}{2}=2x+1,$$

$$\sqrt{4y+1}\le 2y+1,$$

$$\sqrt{4z+1}\le 2z+1.$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le (2x+1)+(2y+1)+(2z+1).$$

Так как $$x+y+z=1,$$ то

$$ (2x+1)+(2y+1)+(2z+1)=2(x+y+z)+3=2\cdot 1+3=5.$$

Следовательно,

$$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5.$$

Равенство достигается при $$x=y=z=\frac13.$$

Ответ

$$\sqrt{4x+1}+\sqrt{4y+1}+\sqrt{4z+1}\le 5,$$ при $$x+y+z=1.$$

Ход решения

Найдём область определения функций.

1. $$y=\frac{1}{|x|-x}.$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$|x|-x\ne 0.$$

   Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и знаменатель равен нулю. Значит, такие значения не подходят.

   Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и $$|x|-x=-2x\ne 0.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;0).$$

2. $$y=\frac{1}{|x|+x}.$$

   Требуется, чтобы

   $$|x|+x\ne 0.$$

   Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и знаменатель равен $$2x\ne 0.$$

   Если $$x\le 0,$$ то $$|x|=-x,$$ и знаменатель равен нулю. Значит, такие значения не подходят.

   Следовательно,

   $$D(y)=(0;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;0)$$; б) $$(0;+\infty).$$