Упр.1009 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$\sqrt{(a+c)(b+d)} \geq \sqrt{ab}+\sqrt{cd}$$, если $$a>0,\ b>0,\ c>0,\ d>0$$.
2. Известно, что $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$8x^2-6x+n=0$$ и $$x_1^{-1}+x_2^{-1}=6$$. Найдите $$n$$.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$8x^2-6x+n=0.$$ По теореме Виета:

$$x_1+x_2=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}, \qquad x_1x_2=\frac{n}{8}.$$

По условию:

$$x_1^{-1}+x_2^{-1}=6.$$

Преобразуем левую часть:

$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}.$$

Тогда

$$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{n}{8}}=6,$$

$$\frac{3}{4}\cdot\frac{8}{n}=6,$$

$$\frac{6}{n}=6,$$

$$n=1.$$

Ответ

$$n=1.$$