Упр.1008 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.
2. Преобразуйте выражение:

Преобразуем разность полусуммы кубов и куба полусуммы:

$$\frac{a^3+b^3}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^3 =\frac{4a^3+4b^3-(a+b)^3}{8}$$

$$=\frac{4a^3+4b^3-a^3-3a^2b-3ab^2-b^3}{8} =\frac{3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3}{8}$$

$$=\frac{3(a^3-a^2b-ab^2+b^3)}{8} =\frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}$$

Так как $$a>0$$ и $$b>0$$, то $$a+b>0$$, а $$\left(a-b\right)^2\ge 0$$. Значит,

$$\frac{3(a+b)(a-b)^2}{8}\ge 0.$$

Следовательно,

$$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3,$$

то есть куб полусуммы любых двух положительных чисел не превосходит полусуммы их кубов.

Ответ

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\le \frac{a^3+b^3}{2}$$