Упр.1007 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что:
   а) $$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6$$, если $$a>0,\ b>0,\ c>0$$;
   б) $$(1+a)(1+b)(1+c)>24$$, если $$a>0,\ b>0,\ c>0$$ и $$abc=9$$.
2. Упростите выражение:

а) Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b} =\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}{abc}.$$

Тогда нужно доказать, что

$$ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\ge 6abc.$$

Раскроем скобки:

$$a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\ge 6abc.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)\ge 6abc.$$

По неравенству AM-GM:

$$b(a^2+c^2)\ge 2abc,\quad a(b^2+c^2)\ge 2abc,\quad c(a^2+b^2)\ge 2abc.$$

Складывая, получаем:

$$b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)\ge 6abc.$$

Значит,

$$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6.$$

б) Используем неравенство $$1+x\ge 2\sqrt{x}$$ при $$x>0$$:

$$1+a\ge 2\sqrt{a},\quad 1+b\ge 2\sqrt{b},\quad 1+c\ge 2\sqrt{c}.$$

Перемножим:

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8\sqrt{abc}.$$

Так как $$abc=9$$, то

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 8\sqrt{9}=24.$$

Следовательно,

$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 24.$$

Ответ

а) $$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6$$; б) $$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 24$$.