Упр.1007 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (a+b)/c + (b+c)/a + (a+c)/b >=6, если а > О, b > 0, с > 0;
б) (1 + а)(1 + b)(1 + с) > 24, если а>0, b >0, с>0 и abc = 9.
Упростите выражение:

а) Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$ \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b} =\frac{ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)}{abc}. $$

Тогда нужно доказать, что

$$ ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\ge 6abc. $$

Раскроем скобки:

$$ a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2\ge 6abc. $$

Сгруппируем слагаемые:

$$ b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)\ge 6abc. $$

По неравенству AM-GM:

$$ b(a^2+c^2)\ge 2abc,\quad a(b^2+c^2)\ge 2abc,\quad c(a^2+b^2)\ge 2abc. $$

Складывая, получаем:

$$ b(a^2+c^2)+a(b^2+c^2)+c(a^2+b^2)\ge 6abc. $$

Значит,

$$ \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6. $$

б) Используем неравенство $$1+x\ge 2\sqrt{x}$$ при $$x>0$$:

$$ 1+a\ge 2\sqrt{a},\quad 1+b\ge 2\sqrt{b},\quad 1+c\ge 2\sqrt{c}. $$

Перемножим:

$$ (1+a)(1+b)(1+c)\ge 8\sqrt{abc}. $$

Так как $$abc=9$$, то

$$ (1+a)(1+b)(1+c)\ge 8\sqrt{9}=24. $$

Следовательно,

$$ (1+a)(1+b)(1+c)\ge 24. $$

Ответ

а) $$\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}\ge 6$$; б) $$ (1+a)(1+b)(1+c)\ge 24 $$.