Упр.1006 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что при $$a>0$$ и $$b>0$$ верно неравенство:
   а) $$(a+b)(ab+16)\ge16ab$$;
   б) $$(a^2+4b)(4b+25)\ge80ab$$.
2. Преобразуйте выражение:

а) По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел имеем:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}, \qquad \frac{ab+16}{2}\ge \sqrt{16ab}=4\sqrt{ab}.$$

Тогда

$$(a+b)(ab+16)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 8\sqrt{ab}=16ab.$$

Значит, $$(a+b)(ab+16)\ge 16ab.$$

б) Аналогично:

$$\frac{a^2+4b}{2}\ge \sqrt{a^2\cdot 4b}=2a\sqrt{b}, \qquad \frac{4b+25}{2}\ge \sqrt{4b\cdot 25}=10\sqrt{b}.$$

Следовательно,

$$(a^2+4b)(4b+25)\ge 4a\sqrt{b}\cdot 20\sqrt{b}=80ab.$$

Значит, $$(a^2+4b)(4b+25)\ge 80ab.$$

Ответ

а) $$(a+b)(ab+16)\ge 16ab;$$ б) $$(a^2+4b)(4b+25)\ge 80ab.$$