Упр.1006 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) (а + b)(аb + 16) >= 16аb;
б) (а2 + 4b)(4b + 25) >= 80аb.
Преобразуйте выражение:

а) По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим для положительных чисел имеем:

$$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}, \qquad \frac{ab+16}{2}\ge \sqrt{16ab}=4\sqrt{ab}.$$

Тогда

$$ (a+b)(ab+16)\ge 2\sqrt{ab}\cdot 8\sqrt{ab}=16ab. $$

Значит, $$ (a+b)(ab+16)\ge 16ab. $$

б) Аналогично:

$$\frac{a^2+4b}{2}\ge \sqrt{a^2\cdot 4b}=2a\sqrt{b}, \qquad \frac{4b+25}{2}\ge \sqrt{4b\cdot 25}=10\sqrt{b}.$$

Следовательно,

$$ (a^2+4b)(4b+25)\ge 4a\sqrt{b}\cdot 20\sqrt{b}=80ab. $$

Значит, $$ (a^2+4b)(4b+25)\ge 80ab. $$

Ответ

а) $$ (a+b)(ab+16)\ge 16ab; $$ б) $$ (a^2+4b)(4b+25)\ge 80ab. $$