Упр.1005 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что если $$x>0$$ и $$y>0$$, то:
   а) $$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\geq\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$;
   б) $$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\geq x+y$$.
2. Упростите выражение:

а) Приведём левую и правую части к общему знаменателю:

$$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{y} = \frac{x^3+y^3-x^2y-xy^2}{x^2y^2}$$

$$\frac{x^3+y^3-x^2y-xy^2}{x^2y^2} = \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)-xy(x+y)}{x^2y^2}$$

$$= \frac{(x+y)(x^2-2xy+y^2)}{x^2y^2} = \frac{(x+y)(x-y)^2}{x^2y^2}\ge 0$$

Так как $$x>0$$ и $$y>0$$, то $$x^2y^2>0$$, а также $$x+y>0$$ и $$(x-y)^2\ge 0$$. Значит,

$$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}.$$

б) Аналогично:

$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}-(x+y) = \frac{x^3+y^3-xy(x+y)}{xy}$$

$$= \frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)-xy(x+y)}{xy}$$

$$= \frac{(x+y)(x^2-2xy+y^2)}{xy} = \frac{(x+y)(x-y)^2}{xy}\ge 0$$

Поскольку $$x>0$$, $$y>0$$, то $$xy>0$$, а значит,

$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y.$$

Ответ

а) $$\frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2}\ge \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$$;
б) $$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{x}\ge x+y$$.