Упр.1004 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство:
   а) $$a^2+b^2+4\geq 2(a+b+1)$$;
   б) $$4a^2+b^2>4(a+b-2)$$.
2. Представьте в виде степени произведения выражение:
   а) $$0{,}0001x^{-4}$$;
   б) $$32y^{-5}$$;
   в) $$0{,}0081a^8b^{-12}$$;
   г) $$10^n x^{-2n}y^{3n}$$, где $$n$$ — целое число.

а) Преобразуем левую и правую части:

$$a^2+b^2+4-2(a+b+1)=a^2-2a+b^2-2b+2$$
$$=(a-1)^2+(b-1)^2\ge 0$$
Следовательно,
$$a^2+b^2+4\ge 2(a+b+1).$$

б) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$4a^2+b^2-4(a+b-2)=4a^2+b^2-4a-4b+8$$
$$=(2a-1)^2+(b-2)^2+3>0.$$
Значит,
$$4a^2+b^2>4(a+b-2).$$

Представим выражения в виде степени произведения:

а)
$$0{,}0001x^{-4}=10^{-4}x^{-4}=(10x)^{-4}$$

б)
$$32y^{-5}=2^5y^{-5}=(2y^{-1})^5$$

в)
$$0{,}0081a^8b^{-12}=0{,}3^4(a^2)^4(b^{-3})^4=(0{,}3a^2b^{-3})^4$$

г)
$$10^n x^{-2n} y^{3n}=10^n(x^{-2})^n(y^3)^n=(10x^{-2}y^3)^n$$

Ответ

а) $$a^2+b^2+4\ge 2(a+b+1)$$;
б) $$4a^2+b^2>4(a+b-2)$$;
а) $$0{,}0001x^{-4}=(10x)^{-4}$$;
б) $$32y^{-5}=(2y^{-1})^5$$;
в) $$0{,}0081a^8b^{-12}=(0{,}3a^2b^{-3})^4$$;
г) $$10^n x^{-2n} y^{3n}=(10x^{-2}y^3)^n$$.