Упр.100 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а)
б)
1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования.
3) Обсудите, для чего в условии указано, что рассматриваются допустимые значения переменных. Укажите допустимые значения переменной в заданиях а) и б).

а) Преобразуем выражение:

$$ \frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}-\frac{2a}{16b^2-a^2} = \frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}+\frac{2a}{a^2-16b^2} $$

Так как $$a^2-16b^2=(a-4b)(a+4b),$$ получаем

$$ \frac{1}{a-4b}-\frac{1}{a+4b}+\frac{2a}{(a-4b)(a+4b)} = \frac{a+4b-a+4b+2a}{(a-4b)(a+4b)} $$

$$ = \frac{2(a+4b)}{(a-4b)(a+4b)} = \frac{2}{a-4b} $$

При допустимых значениях переменной выражение равно $$\frac{2}{a-4b}$$, значит, оно не может быть тождественно постоянным числом.

ОДЗ: $$a-4b\ne 0,$$ $$a+4b\ne 0.$$

б) Преобразуем выражение:

$$ \frac{1}{2b-2a}+\frac{1}{2b+2a}+\frac{a^2}{a^2b-b^3} = \frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}+\frac{a^2}{b(a^2-b^2)} $$

Так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b),$$ то

$$ \frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}+\frac{a^2}{b(a^2-b^2)} = \frac{1}{2(b-a)}+\frac{1}{2(b+a)}-\frac{a^2}{b(b^2-a^2)} $$

Приведём к общему знаменателю $$2b(b^2-a^2):$$

$$ \frac{b(b+a)+b(b-a)-2a^2}{2b(b^2-a^2)} = \frac{b^2+ab+b^2-ab-2a^2}{2b(b^2-a^2)} $$

$$ = \frac{2b^2-2a^2}{2b(b^2-a^2)} = \frac{2(b^2-a^2)}{2b(b^2-a^2)} = \frac{1}{b} $$

При допустимых значениях переменной выражение равно $$\frac{1}{b}$$, значит, оно не может быть тождественно постоянным числом.

ОДЗ: $$b-a\ne 0,$$ $$b+a\ne 0,$$ $$b\ne 0.$$

Ответ

а) $$\frac{2}{a-4b},\quad a\ne 4b,\ a\ne -4b.$$
б) $$\frac{1}{b},\quad b\ne 0,\ b\ne a,\ b\ne -a.$$