Упр.73 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 8 класс (Алгебра)

Разложим знаменатель на множители:

$$4x^2-1=(2x-1)(2x+1), \qquad x\ne \pm\frac12.$$

Пусть

$$\frac{6x+1}{(2x-1)(2x+1)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{2x+1}.$$

Приведём правую часть к общему знаменателю:

$$\frac{6x+1}{(2x-1)(2x+1)} = \frac{a(2x+1)+b(2x-1)}{(2x-1)(2x+1)}.$$

Следовательно,

$$6x+1=x(2a+2b)+a-b.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 2a+2b=6,\\ a-b=1. \end{cases} \qquad \begin{cases} a+b=3,\\ a-b=1. \end{cases}$$
$$a=2,\qquad b=1.$$

Таким образом,

$$\frac{6x+1}{4x^2-1}=\frac{2}{2x-1}+\frac{1}{2x+1}.$$

Область допустимых значений:

$$9x^2-4=(3x-2)(3x+2), \qquad x\ne\pm\frac23.$$

Пусть

$$\frac{3x+18}{(3x-2)(3x+2)}=\frac{a}{3x-2}+\frac{b}{3x+2}.$$

Тогда

$$3x+18=a(3x+2)+b(3x-2)=x(3a+3b)+2a-2b.$$

Составим систему:

$$\begin{cases} 3a+3b=3,\\ 2a-2b=18. \end{cases} \qquad \begin{cases} a+b=1,\\ a-b=9. \end{cases}$$
$$a=5,\qquad b=-4.$$

Следовательно,

$$\frac{3x+18}{9x^2-4}=\frac{5}{3x-2}-\frac{4}{3x+2}.$$

Область допустимых значений:

$$x\ne\frac14,\qquad x\ne\frac53.$$

Пусть

$$\frac{7x-6}{(4x-1)(3x-5)}=\frac{a}{4x-1}+\frac{b}{3x-5}.$$

После приведения к общему знаменателю:

$$7x-6=a(3x-5)+b(4x-1)=x(3a+4b)-5a-b.$$

Получаем систему:

$$\begin{cases} 3a+4b=7,\\ -5a-b=-6. \end{cases}$$

Отсюда

$$a=1,\qquad b=1.$$

Поэтому

$$\frac{7x-6}{(4x-1)(3x-5)}=\frac{1}{4x-1}+\frac{1}{3x-5}.$$

Область допустимых значений:

$$x\ne\frac12,\qquad x\ne-\frac23.$$

Пусть

$$\frac{x+17}{(2x-1)(3x+2)}=\frac{a}{2x-1}+\frac{b}{3x+2}.$$

Тогда

$$x+17=a(3x+2)+b(2x-1)=x(3a+2b)+2a-b.$$

Составим систему:

$$\begin{cases} 3a+2b=1,\\ 2a-b=17. \end{cases}$$

Решая систему, получаем:

$$a=5,\qquad b=-7.$$

Следовательно,

$$\frac{x+17}{(2x-1)(3x+2)}=\frac{5}{2x-1}-\frac{7}{3x+2}.$$