Упр.72 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 8 класс (Алгебра)

Представим каждую дробь в виде суммы простейших дробей и сравним коэффициенты.

1. $$\frac{3x-1}{x(x-1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x-1}, \qquad x\ne0,\ x\ne1.$$

   Приведём правую часть к общему знаменателю:

   $$\frac{3x-1}{x(x-1)}=\frac{a(x-1)+bx}{x(x-1)} =\frac{(a+b)x-a}{x(x-1)}.$$

   Следовательно,

   $$\begin{cases} a+b=3,\\ -a=-1. \end{cases} \qquad \begin{cases} a=1,\\ b=2. \end{cases}$$

   $$\boxed{\frac{3x-1}{x(x-1)}=\frac1x+\frac2{x-1}}$$

2. Разложим знаменатель на множители:

   $$x^2+10x+24=(x+6)(x+4).$$

   Тогда

   $$\frac{3x-4}{x^2+10x+24}=\frac{a}{x+6}+\frac{b}{x+4}, \qquad x\ne-6,\ x\ne-4.$$

   После приведения к общему знаменателю получаем:

   $$\frac{3x-4}{(x+6)(x+4)} =\frac{a(x+4)+b(x+6)}{(x+6)(x+4)}.$$

   Сравнивая коэффициенты, имеем:

   $$\begin{cases} a+b=3,\\ 4a+6b=-4. \end{cases} \qquad \begin{cases} a=11,\\ b=-8. \end{cases}$$

   $$\boxed{\frac{3x-4}{x^2+10x+24}=\frac{11}{x+6}-\frac8{x+4}}$$

3. $$\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x+1}, \qquad x\ne-1,\ x\ne1.$$

   Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1),$$ то

   $$\frac{4x+3}{(x-1)(x+1)} =\frac{a(x+1)+b(x-1)}{(x-1)(x+1)} =\frac{(a+b)x+a-b}{(x-1)(x+1)}.$$

   Получаем систему:

   $$\begin{cases} a+b=4,\\ a-b=3. \end{cases} \qquad \begin{cases} a=\frac72,\\ b=\frac12. \end{cases}$$

   $$\boxed{\frac{4x+3}{x^2-1}=\frac{7}{2(x-1)}+\frac{1}{2(x+1)}}$$