Упр.321 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 8 класс (Алгебра)

а) Сгруппируем слагаемые попарно:

$$\begin{aligned} 1^3+2^3+\ldots+98^3+99^3 &=(1^3+99^3)+(2^3+98^3)+\ldots+ (49^3+51^3)+50^3. \end{aligned}$$

Для каждой пары выполняется равенство:

$$k^3+(100-k)^3=100\bigl(k^2-100k+10000\bigr),$$

поэтому сумма каждой пары делится на $$100$$. Кроме того,

$$50^3=125000$$

также делится на $$100$$. Следовательно, вся сумма делится на $$100$$.

б) Аналогично сгруппируем слагаемые:

$$\begin{aligned} 1^3+2^3+\ldots+48^3+49^3 &=(1^3+49^3)+(2^3+48^3)+\ldots+ (24^3+26^3)+25^3. \end{aligned}$$

Для каждой пары:

$$k^3+(50-k)^3=50\bigl(k^2-50k+2500\bigr),$$

значит, каждая пара делится на $$50$$, а следовательно, и на $$25$$. Число $$25^3$$ также делится на $$25$$.

Ответ: а) сумма делится на $$100$$; б) сумма делится на $$25$$.