Упр.314 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 8 класс (Алгебра)

Считаем, что $$a$$ — целое число. Дробь сократима, если числитель и знаменатель имеют общий делитель, больший единицы.

1. $$\frac{a}{a+7}, \qquad a\ne-7.$$
   
   Так как $$\gcd(a,a+7)=\gcd(a,7)$$, дробь сокращается при $$a$$, кратном $$7$$.
2. $$\frac{a}{a+5}, \qquad a\ne-5.$$
   
   Так как $$\gcd(a,a+5)=\gcd(a,5)$$, дробь сокращается при $$a$$, кратном $$5$$.
3. $$\frac{2a}{2a+7}.$$
   
   Общий делитель числителя и знаменателя является делителем числа $$7$$. Поэтому дробь сокращается при $$a$$, кратном $$7$$.
4. $$\frac{a+6}{11}.$$
   
   Дробь сокращается, если $$a+6$$ кратно $$11$$, то есть при
   $$a+6=11k,\qquad a=11k-6.$$
5. $$\frac{2a}{5a+10}=\frac{2a}{5(a+2)}, \qquad a\ne-2.$$
   
   Если $$a$$ чётное, числитель и знаменатель делятся на $$2$$. Если $$a$$ кратно $$5$$, они имеют общий множитель $$5$$. Следовательно, дробь сокращается при чётных значениях $$a$$ или при значениях $$a$$, кратных $$5$$.

Ответ: дробь $$\frac{a}{a+7}$$ сокращается при $$7\mid a$$; $$\frac{a}{a+5}$$ — при $$5\mid a$$; $$\frac{2a}{2a+7}$$ — при $$7\mid a$$; $$\frac{a+6}{11}$$ — при $$a\equiv5\pmod{11}$$; $$\frac{2a}{5a+10}$$ — при чётном $$a$$ или $$5\mid a$$.