Упр.206 ГДЗ Макарычев Миндюк Феоктистов 8 класс (Алгебра)

При $$a\ne0,\ b\ne0$$ имеем:

1. $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2-\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^2 = \left(\frac{a+b}{ab}\right)^2-\left(\frac{a-b}{ab}\right)^2$$
   $$= \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{a^2b^2} = \frac{(a+b-a+b)(a+b+a-b)}{a^2b^2} = \frac{4ab}{a^2b^2} = \frac{4}{ab}.$$
2. $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^2+\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^2 = \left(\frac{a+b}{ab}\right)^2+\left(\frac{a-b}{ab}\right)^2$$
   $$= \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{a^2b^2} = \frac{a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2}{a^2b^2} = \frac{2(a^2+b^2)}{a^2b^2}.$$
3. $$\left(a^{-1}+b^{-1}\right)^3+\left(a^{-1}-b^{-1}\right)^3 = \left(\frac{a+b}{ab}\right)^3+\left(\frac{a-b}{ab}\right)^3$$
   $$= \frac{(a+b)^3+(a-b)^3}{a^3b^3} = \frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+a^3-3a^2b+3ab^2-b^3}{a^3b^3}$$
   $$= \frac{2a^3+6ab^2}{a^3b^3} = \frac{2a(a^2+3b^2)}{a^3b^3} = \frac{2(a^2+3b^2)}{a^2b^3}.$$