Вводные упражнения 41 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1) y=-1/3 x^2; 2) y=1/4 x^2-1; 3) y=3x^2-5x;
4) y=x^2-6x+9; 5) y=-x^2-4x-4; 6) y=x^2-3x-4.
2. Определить направление ветвей параболы:
1) y=3x^2+x-1; 2) y=-2x^2+6x-5;
3) y=-1+6x^2; 4) y=x-2x^2.
3. Не используя график квадратичной функции, решить неравенство:
1) (x-7)(x+8)?0; 2) (x+6)(x-4)<0; 3) x^2-9<0; 4) x^2?25.

1. Найдём нули функции, приравняв её к нулю.

   1) $$y=-\frac13x^2$$

   $$-\frac13x^2=0 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0.$$

   2) $$y=\frac14x^2-1$$

   $$\frac14x^2-1=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

   3) $$y=3x^2-5x$$

   $$3x^2-5x=0 \Rightarrow x(3x-5)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=\frac53.$$

   4) $$y=x^2-6x+9$$

   $$x^2-6x+9=0 \Rightarrow (x-3)^2=0 \Rightarrow x=3.$$

   5) $$y=-x^2-4x-4$$

   $$-x^2-4x-4=0 \Rightarrow -(x^2+4x+4)=0 \Rightarrow -(x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2.$$

   6) $$y=x^2-3x-4$$

   $$x^2-3x-4=0 \Rightarrow (x-4)(x+1)=0 \Rightarrow x=4 \text{ или } x=-1.$$

2. Определим направление ветвей параболы по знаку коэффициента при $$x^2$$.

   1) $$y=3x^2+x-1$$ — ветви вверх.

   2) $$y=-2x^2+6x-5$$ — ветви вниз.

   3) $$y=-1+6x^2=6x^2-1$$ — ветви вверх.

   4) $$y=x-2x^2=-2x^2+x$$ — ветви вниз.

3. Решим неравенства.

   1) $$\left(x-7\right)\left(x+8\right)\ge 0$$

   Произведение неотрицательно, когда оба множителя одного знака:

   $$x\ge 7 \text{ или } x\le -8.$$

   2) $$\left(x+6\right)\left(x-4\right)<0$$

   Произведение отрицательно между корнями:

   $$-6<x<4.$$

   3) $$x^2-9<0$$

   $$\left(x-3\right)\left(x+3\right)<0 \Rightarrow -3<x<3.$$

   4) $$x^2\ge 25$$

   $$x^2-25\ge 0 \Rightarrow \left(x-5\right)\left(x+5\right)\ge 0 \Rightarrow x\le -5 \text{ или } x\ge 5.$$

Ответ

1) $$x=0;\ x=\pm 2;\ x=0,\ \frac53;\ x=3;\ x=-2;\ x=-1,\ 4.$$

2) Ветви вверх: 1), 3). Ветви вниз: 2), 4).

3) $$x\ge 7;\ -6<x<4;\ -3<x<3;\ x\le -5 \text{ или } x\ge 5.$$