Вводные упражнения 39 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Для функции $$y(x)=2x^2+5x-3$$ подставим заданные значения аргумента:

   $$y(0)=2\cdot 0^2+5\cdot 0-3=-3$$
   $$y(1)=2\cdot 1^2+5\cdot 1-3=2+5-3=4$$
   $$y(-3)=2\cdot (-3)^2+5\cdot (-3)-3=18-15-3=0$$
   $$y\left(\frac12\right)=2\cdot \left(\frac12\right)^2+5\cdot \frac12-3=\frac12+\frac52-3=0$$

2. Ось симметрии параболы $$y=ax^2+bx+c$$ задаётся формулой $$x_0=-\frac{b}{2a}$$.

   1) $$y=3x^2-5x-7,\quad x_0=\frac{5}{2\cdot 3}=\frac56$$
   
   2) $$y=5x^2-x,\quad x_0=\frac{1}{2\cdot 5}=\frac{1}{10}$$
   
   3) $$y=x^2-1,\quad x_0=0$$
   
   4) $$y=2{,}5x^2,\quad x_0=0$$

3. Нули функции находим из уравнения $$y=0$$.

   1) $$15x^2-5x=0$$
   $$5x(3x-1)=0$$
   $$x_1=0,\quad x_2=\frac13$$

   2) $$16x^2-100=0$$
   $$16x^2=100$$
   $$x^2=\frac{25}{4}$$
   $$x_1=-\frac52,\quad x_2=\frac52$$

   3) $$-6x^2-x+1=0$$
   $$D=(-1)^2-4\cdot (-6)\cdot 1=25$$
   $$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{2\cdot (-6)}$$
   $$x_1=\frac13,\quad x_2=-\frac12$$

   4) $$2x^2+3x-7=0$$
   $$D=3^2-4\cdot 2\cdot (-7)=65$$
   $$x_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{65}}{4}$$

4. По графику квадратичной функции:

   1) $$y>0$$ при $$x<0$$ и $$x>4$$, а $$y<0$$ при $$0<x<4$$.
   
   2) Функция возрастает при $$x\ge 2$$ и убывает при $$x\le 2$$.
   
   3) График пересекает ось $$Ox$$ в точках $$(0;0)$$ и $$(4;0)$$, ось $$Oy$$ — в точке $$(0;0)$$.

   Для второго графика:
   
   1) $$y>0$$ при $$-1<x<3$$, а $$y<0$$ при $$x<-1$$ и $$x>3$$.
   
   2) Функция возрастает при $$x\le 1$$ и убывает при $$x\ge 1$$.
   
   3) График пересекает ось $$Ox$$ в точках $$(-1;0)$$ и $$(3;0)$$, ось $$Oy$$ — в точке $$(0;3)$$.

5. Запишем выражения:

   1) квадрат суммы чисел $$a$$ и $$b$$: $$(a+b)^2$$
   
   2) сумма квадратов чисел $$a$$ и $$b$$: $$a^2+b^2$$
   
   3) произведение разности чисел $$a$$ и $$b$$ на их сумму: $$(a-b)(a+b)$$
   
   4) частное разности квадратов чисел $$a$$ и $$b$$ и суммы кубов этих чисел: $$\dfrac{a^2-b^2}{a^3+b^3}$$

Ответ

1) $$y(0)=-3,\; y(1)=4,\; y(-3)=0,\; y\left(\frac12\right)=0$$;

2) $$x_0=\frac56,\; \frac{1}{10},\; 0,\; 0$$;

3) $$x=0,\; \frac13;\; x=-\frac52,\; \frac52;\; x=\frac13,\; -\frac12;\; x=\frac{-3\pm \sqrt{65}}{4}$$;

4) см. найденные промежутки и точки пересечения;

5) $$(a+b)^2,\; a^2+b^2,\; (a-b)(a+b),\; \dfrac{a^2-b^2}{a^3+b^3}$$