Вводные упражнения 32 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- В прямоугольном равнобедренном треугольнике катет равен $$x$$ см, а гипотенуза на $$8$$ см больше катета. Записать выражения для нахождения периметра и площади этого треугольника.
- Тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью $$50$$ км/ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое тело преодолеет расстояние $$s$$.
- Лодка движется: 1) по течению реки; 2) против течения реки с собственной скоростью $$7$$ км/ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое лодка преодолеет расстояние $$s$$, если скорость течения реки $$x$$ км/ч (известно, что $$x<7$$).
- Рабочий может выполнить весь объём работы за $$x$$ ч, а его ученик — за $$y$$ ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое весь объём работы выполнят рабочий и его ученик, если будут работать совместно.
- Клиент положил на новый счёт в банке $$x$$ р. под $$5\%$$ годовых. Какую максимальную сумму он сможет снять с этого счёта через год?
- Найти подбором положительный корень уравнения: 1) $$x^2+6x-16=0$$; 2) $$x^2-7x-30=0$$.
- Решить уравнение: 1) $$\frac{x-2}{x^2-4}=0$$; 2) $$\frac{x^2-9}{x+3}=0$$.
- Какая из пар чисел $$(1;4)$$, $$(-2;3)$$, $$(-1;-3)$$ обращает в верное числовое равенство уравнение: 1) $$5x+2y=-4$$; 2) $$15x-4y=-3$$; 3) $$7x-\frac{1}{2}y=5$$?
- Решить систему уравнений способом подстановки: 1) $$\begin{cases}x=2y\\3x-2y=4\end{cases}$$; 2) $$\begin{cases}x-y=2\\(x+y)(x-y)=4\end{cases}$$; 3) $$\begin{cases}(x+y)(x-y)=55\\x+y=11\end{cases}$$.
- Решить систему уравнений способом сложения: 1) $$\begin{cases}x-y=14\\x+y=10\end{cases}$$; 2) $$\begin{cases}2x+y=7\\3x+y=12\end{cases}$$.
- Записать приведённое квадратное уравнение, сумма корней которого равна $$4$$, а произведение — $$-21$$.
Пусть катет равен $$x$$ см, тогда гипотенуза равна $$x+8$$ см.
Периметр:
$$P=x+x+(x+8)=3x+8.$$
Площадь:
$$S=\frac12 x\cdot x=\frac12 x^2.$$
Используем формулу $$s=vt$$, где $$v=50$$ км/ч.
Тогда
$$t=\frac{s}{v}=\frac{s}{50}.$$
Пусть скорость течения реки равна $$x$$ км/ч, тогда $$x<7$$.
1) По течению скорость лодки равна $$7+x$$, значит
$$t=\frac{s}{7+x}.$$
2) Против течения скорость лодки равна $$7-x$$, значит
$$t=\frac{s}{7-x}.$$
За 1 час рабочий выполняет $$\frac1x$$ работы, а ученик — $$\frac1y$$ работы.
Вместе они выполнят всю работу за
$$t=\frac1x+\frac1y.$$
Через год на счёте будет
$$x+0{,}05x=1{,}05x.$$
1) $$x^2+6x-16=0$$
Подбором получаем корни $$x=-8$$ и $$x=2$$. Положительный корень:
$$x=2.$$
2) $$x^2-7x-30=0$$
Подбором получаем корни $$x=10$$ и $$x=-3$$. Положительный корень:
$$x=10.$$
1) $$\frac{x-2}{x^2-4}=0$$
ОДЗ: $$x^2-4\ne 0$$, то есть $$x\ne \pm 2$$.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
$$x-2=0 \Rightarrow x=2.$$
Но $$x=2$$ не подходит по ОДЗ. Корней нет.
2) $$\frac{x^2-9}{x+3}=0$$
ОДЗ: $$x\ne -3$$.
Числитель равен нулю:
$$x^2-9=0$$
$$x^2=9$$
$$x=3 \text{ или } x=-3.$$
Значение $$x=-3$$ не подходит, значит
$$x=3.$$
Проверим пары чисел.
1) $$5x+2y=-4$$
Подходит пара $$(-2;3)$$.
2) $$15x-4y=-3$$
Подходит пара $$(-1;-3)$$.
3) $$7x-\frac12 y=5$$
Подходит пара $$(1;4)$$.
1) $$\begin{cases}x=2y \\ 3x-2y=4\end{cases}$$
Подставим $$x=2y$$ во второе уравнение:
$$3\cdot 2y-2y=4$$
$$4y=4,\quad y=1,\quad x=2.$$
Ответ: $$(2;1).$$
2) $$\begin{cases}x-y=2 \\ (x+y)(x-y)=4\end{cases}$$
Так как $$x-y=2$$, то
$$2(x+y)=4,\quad x+y=2.$$
Решаем систему:
$$\begin{cases}x-y=2 \\ x+y=2\end{cases}$$
$$x=2,\quad y=0.$$
Ответ: $$(2;0).$$
3) $$\begin{cases}(x+y)(x-y)=55 \\ x+y=11\end{cases}$$
Подставим $$x+y=11$$:
$$11(x-y)=55,\quad x-y=5.$$
Решаем систему:
$$\begin{cases}x-y=5 \\ x+y=11\end{cases}$$
$$x=8,\quad y=3.$$
Ответ: $$(8;3).$$
1) $$\begin{cases}x-y=14 \\ x+y=10\end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x=24,\quad x=12.$$
Тогда
$$y=10-12=-2.$$
Ответ: $$(12;-2).$$
2) $$\begin{cases}2x+y=7 \\ 3x+y=12\end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$x=5.$$
Тогда
$$2\cdot 5+y=7,\quad y=-3.$$
Ответ: $$(5;-3).$$
По теореме Виета для приведённого квадратного уравнения:
$$x_1+x_2=4,\qquad x_1x_2=-21.$$
Искомое уравнение:
$$x^2-4x-21=0.$$
Ответ
1) $$P=3x+8,$$ $$S=\frac12 x^2.$$
2) $$t=\frac{s}{50}.$$
3) $$t=\frac{s}{7+x};\quad t=\frac{s}{7-x}.$$
4) $$t=\frac1x+\frac1y.$$
5) $$1{,}05x.$$
6) $$x=2; \ x=10.$$
7) 1) корней нет; 2) $$x=3.$$
8) 1) $$(-2;3)$$; 2) $$(-1;-3)$$; 3) $$(1;4)$$.
9) 1) $$(2;1)$$; 2) $$(2;0)$$; 3) $$(8;3)$$.
10) 1) $$(12;-2)$$; 2) $$(5;-3)$$.
11) $$x^2-4x-21=0.$$
