Вводные упражнения 30 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. 1) $$x^2-0{,}09=0$$

   $$x^2=0{,}09$$

   $$x=\pm 0{,}3$$

   2) $$x^2+\frac13x=0$$

   $$x\left(x+\frac13\right)=0$$

   $$x=0 \text{ или } x=-\frac13$$

   3) $$x^2+4x+4=0$$

   $$\left(x+2\right)^2=0$$

   $$x=-2$$

   4) $$\left(x+2\right)^2-4=0$$

   $$\left(x+2\right)^2=4$$

   $$x+2=2 \text{ или } x+2=-2$$

   $$x=0 \text{ или } x=-4$$

2. 1) $$2x^2-3x+5=0$$

   Разделим обе части уравнения на $$2$$:

   $$x^2-\frac32x+\frac52=0$$

   2) $$\frac13x^2+2x-\frac23=0$$

   Умножим обе части на $$3$$:

   $$x^2+6x-2=0$$

3. 1) $$\left(x+\sqrt{x^2-y}\right)+\left(x-\sqrt{x^2-y}\right)=2x$$

   $$\left(x+\sqrt{x^2-y}\right)\left(x-\sqrt{x^2-y}\right)=x^2-\left(x^2-y\right)=y$$

   2) $$\left(-x+\sqrt{y+x^2}\right)+\left(-x-\sqrt{y+x^2}\right)=-2x$$

   $$\left(-x+\sqrt{y+x^2}\right)\left(-x-\sqrt{y+x^2}\right)=x^2-\left(y+x^2\right)=-y$$

4. 1) $$\frac{(2x+1)(x+3)}{(3+x)2x}=\frac{(2x+1)(x+3)}{(x+3)2x}=\frac{2x+1}{2x}$$

   2) $$\frac{(1-3x)(x+2)}{(x-3)(3x-1)}=\frac{-(3x-1)(x+2)}{(x-3)(3x-1)}=\frac{-(x+2)}{x-3}=\frac{x+2}{3-x}$$

5. Для уравнения $$x^2-5x+6=0$$ по теореме Виета:

   $$x_1x_2=6$$

   Произведение корней равно свободному члену.

6. Для уравнения $$x^2-5x+6=0$$:

   $$x_1+x_2=5$$

   Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком.

7. 1) $$x^2=25$$

   $$x=\pm 5$$

   2) $$x^2=5$$

   $$x=\pm \sqrt5$$

   3) $$x^2=-5$$

   Корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

   4) $$x^2=0$$

   $$x=0$$

8. 1) $$16x^4=\left(4x^2\right)^2$$

   2) $$\frac{4}{81}y^4=\left(\frac{2}{9}y^2\right)^2$$

   3) $$x^6y^8=\left(x^3y^4\right)^2$$

   4) $$0{,}01x^{10}y^{12}=\left(0{,}1x^5y^6\right)^2$$

9. 1) $$\frac{a}{x-5}-\frac{4}{x+3}$$

   ОДЗ: $$x-5\ne 0,\; x+3\ne 0$$, то есть $$x\ne 5,\; x\ne -3$$.

   2) $$\frac{5}{x(x+1)}+\frac{b}{x-2}$$

   ОДЗ: $$x(x+1)\ne 0,\; x-2\ne 0$$, то есть $$x\ne 0,\; x\ne -1,\; x\ne 2$$.

10. 1) $$x^2-5x+4=0$$

    $$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=4$$

    $$x_1=1,\; x_2=4$$

    2) $$x^2-x-2=0$$

    $$x_1+x_2=1,\quad x_1x_2=-2$$

    $$x_1=2,\; x_2=-1$$

    3) $$x^2+9x+18=0$$

    $$x_1+x_2=-9,\quad x_1x_2=18$$

    $$x_1=-6,\; x_2=-3$$

    4) $$x^2-7x+12=0$$

    $$x_1+x_2=7,\quad x_1x_2=12$$

    $$x_1=3,\; x_2=4$$

11. 1) $$x^2+7x+6=0$$

    Если $$x_1=-1$$, то по теореме Виета:

    $$x_1+x_2=-7$$

    $$-1+x_2=-7$$

    $$x_2=-6$$

    2) $$x^2-8x-9=0$$

    Если $$x_1=-1$$, то:

    $$x_1x_2=-9$$

    $$-1\cdot x_2=-9$$

    $$x_2=9$$

12. 1) $$x^2-6x-7=0$$

    $$x^2-6x-7=(x-7)(x+1)$$

    2) $$2x^2-5x+3=0$$

    $$2x^2-5x+3=2\left(x-\frac32\right)(x-1)=(2x-3)(x-1)$$

Ответ

1. 1) $$x=\pm 0{,}3$$; 2) $$x=0,\; -\frac13$$; 3) $$x=-2$$; 4) $$x=0,\; -4$$.

2. 1) $$x^2-\frac32x+\frac52=0$$; 2) $$x^2+6x-2=0$$.

3. 1) сумма $$=2x$$, произведение $$=y$$; 2) сумма $$=-2x$$, произведение $$=-y$$.

4. 1) $$\frac{2x+1}{2x}$$; 2) $$\frac{x+2}{3-x}$$.

5. $$x_1x_2=6$$.

6. $$x_1+x_2=5$$.

7. 1) $$x=\pm 5$$; 2) $$x=\pm \sqrt5$$; 3) корней нет; 4) $$x=0$$.

8. 1) $$\left(4x^2\right)^2$$; 2) $$\left(\frac{2}{9}y^2\right)^2$$; 3) $$\left(x^3y^4\right)^2$$; 4) $$\left(0{,}1x^5y^6\right)^2$$.

9. 1) $$x\ne 5,\; x\ne -3$$; 2) $$x\ne 0,\; x\ne -1,\; x\ne 2$$.

10. 1) $$x=1,\; 4$$; 2) $$x=-1,\; 2$$; 3) $$x=-6,\; -3$$; 4) $$x=3,\; 4$$.

11. 1) $$x_2=-6$$; 2) $$x_2=9$$.

12. 1) $$x^2-6x-7=(x-7)(x+1)$$; 2) $$2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)$$.