Вводные упражнения 3 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. Вычислим дроби, приводя к общему знаменателю:

   $$\frac{3}{19}+\frac{7}{19}=\frac{10}{19}$$
   $$\frac{5}{11}-\frac{7}{9}=\frac{5\cdot 9-7\cdot 11}{99}=\frac{45-77}{99}=-\frac{32}{99}$$
   $$1\frac{2}{3}+2\frac{3}{5}=1\frac{10}{15}+2\frac{9}{15}=3\frac{19}{15}=4\frac{4}{15}$$
   $$\frac{3}{40}+\frac{1}{10}=\frac{3}{40}+\frac{4}{40}=\frac{7}{40}$$
   $$\frac{7}{24}-\frac{5}{36}=\frac{7\cdot 3-5\cdot 2}{72}=\frac{21-10}{72}=\frac{11}{72}$$

2. Выполним умножение и деление одночленов:

   $$21x^5y^6\cdot 2y^3=42x^5y^9$$
   $$3a^4b^5\cdot 6a^2b=18a^6b^6$$
   $$(4a^6-b)\cdot ab=4a^7b-ab^2$$
   $$2xy^3(x+y)=2x^2y^3+2xy^4$$
   $$27a^3b^8:(3ab^2)=9a^2b^6$$
   $$(a-3b)(3b+a)=a^2-9b^2$$

3. Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$\frac{1}{6x^2}=\frac{2}{12x^2}, \qquad \frac{1}{4x}=\frac{3x}{12x^2}$$
   $$\frac{1}{3x^2y}=\frac{12y^2}{36x^2y^3}, \qquad \frac{1}{12xy^2}=\frac{3xy}{36x^2y^3}, \qquad \frac{1}{18x^2y^3}=\frac{2}{36x^2y^3}$$
   $$\frac{1}{(x+y)^2}=\frac{x+y}{(x+y)^3}, \qquad \frac{1}{(x+y)^3}=\frac{1}{(x+y)^3}$$
   $$\frac{1}{a-b}=\frac{1}{a-b}, \qquad \frac{1}{b-a}=-\frac{1}{a-b}$$
   $$\frac{1}{4x^2-1}=\frac{1}{(2x-1)(2x+1)}, \qquad \frac{1}{1+2x}=\frac{2x-1}{4x^2-1}$$

4. Сравним числа:

   $$-1<0{,}7$$
   $$1{,}9>-0{,}9$$
   $$-8{,}7<-8{,}6$$
   $$-3{,}45>-3{,}46$$
   $$1\frac{5}{9}>1\frac{4}{9}$$
   $$\frac{7}{8}>\frac{7}{9}$$

5. Упростим выражения:

   $$(a-2)^2-(a-1)(a+3)=a^2-4a+4-(a^2+2a-3)=7-6a$$
   $$(b+4)(b-2)-(b-1)^2=b^2+2b-8-(b^2-2b+1)=4b-9$$

6. К обеим частям уравнения $$2x-3=5$$ прибавим указанное число:

   $$+(-3):\quad 2x-6=2$$
   $$+5:\quad 2x+2=10$$
   $$+3:\quad 2x=8$$
   $$+(-5):\quad 2x-8=0$$

7. Обе части уравнения $$\frac{1}{3}x=4$$ умножим на указанное число:

   $$\cdot 3:\quad x=12$$
   $$\cdot (-3):\quad -x=-12$$
   $$\cdot \left(-\frac{1}{2}\right):\quad -\frac{1}{6}x=-2$$
   $$\cdot \frac{1}{4}:\quad \frac{1}{12}x=1$$

8. Определим знак числа $$a$$:

   $$a+1<0 \Rightarrow a<-1,\ \text{значит } a \text{ отрицательное}$$
   $$a-1>0 \Rightarrow a>1,\ \text{значит } a \text{ положительное}$$

9. Сравним с нулём число $$a$$:

   $$1{,}5a>0 \Rightarrow a>0$$
   $$4{,}5a<0 \Rightarrow a<0$$
   $$-7a>0 \Rightarrow a<0$$
   $$-0{,}1a<0 \Rightarrow a>0$$

10. Определим знак выражения:

    $$a-5>0 \text{ при } a>5,\qquad a-5<0 \text{ при } a<5$$
    $$b+3>0 \text{ при } b>-3,\qquad b+3<0 \text{ при } b<-3$$
    $$(a-5)(b+3)>0 \text{ при } a>5,\ b>-3$$
    $$(a-5)(b+3)>0 \text{ при } a<5,\ b<-3$$

Ответ

1) $$\frac{10}{19};\ -\frac{32}{99};\ 4\frac{4}{15};\ \frac{7}{40};\ \frac{11}{72}$$

2) $$42x^5y^9;\ 18a^6b^6;\ 4a^7b-ab^2;\ 2x^2y^3+2xy^4;\ 9a^2b^6;\ a^2-9b^2$$

3) $$\frac{2}{12x^2},\ \frac{3x}{12x^2};\ \frac{12y^2}{36x^2y^3},\ \frac{3xy}{36x^2y^3},\ \frac{2}{36x^2y^3};\ \frac{x+y}{(x+y)^3},\ \frac{1}{(x+y)^3};\ \frac{1}{a-b},\ -\frac{1}{a-b};\ \frac{1}{(2x-1)(2x+1)},\ \frac{2x-1}{4x^2-1}$$

4) $$-1<0{,}7;\ 1{,}9>-0{,}9;\ -8{,}7<-8{,}6;\ -3{,}45>-3{,}46;\ 1\frac{5}{9}>1\frac{4}{9};\ \frac{7}{8}>\frac{7}{9}$$

5) $$7-6a;\ 4b-9$$

6) $$2x-6=2;\ 2x+2=10;\ 2x=8;\ 2x-8=0$$

7) $$x=12;\ -x=-12;\ -\frac{1}{6}x=-2;\ \frac{1}{12}x=1$$

8) $$a \text{ отрицательное};\ a \text{ положительное}$$

9) $$a>0;\ a<0;\ a<0;\ a>0$$

10) $$a-5>0 \text{ при } a>5,\ a-5<0 \text{ при } a<5;\ b+3>0 \text{ при } b>-3,\ b+3<0 \text{ при } b<-3;\ (a-5)(b+3)>0 \text{ при } a>5,\ b>-3 \text{ и при } a<5,\ b<-3$$