Вводные упражнения 29 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

Задача

Решить уравнение:
1) $$x^2-81=0$$;
2) $$5x^2+15x=0$$;
3) $$(x-2)^2=0$$;
4) $$(x+1)^2-1=0$$.
Назвать коэффициенты и свободный член квадратного уравнения:
1) $$2x^2-3x+1=0$$;
2) $$-x^2-2x+3=0$$;
3) $$-5x^2-12x=0$$;
4) $$7x^2-13=0$$.
Найти значение выражения $$b^2-4ac$$, если:
1) $$a=1,\ b=3,\ c=-5$$;
2) $$a=6,\ b=-2,\ c=1$$;
3) $$a=-1,\ b=4,\ c=-2$$;
4) $$a=-2,\ b=-5,\ c=-1$$.
Представить в виде квадрата одночлена стандартного вида выражение:
1) $$4a^2$$;
2) $$a^2b^4$$;
3) $$2a^6$$;
4) $$\frac{3}{25}b^8$$.

Решить уравнение:
1) $$x^2-0{,}09=0$$;
2) $$x^2+\frac{1}{3}x=0$$;
3) $$x^2+4x+4=0$$;
4) $$(x+2)^2-4=0$$.
Выполнить деление обеих частей уравнения на первый коэффициент:
1) $$2x^2-3x+5=0$$;
2) $$\frac{1}{3}x^2+2x-\frac{2}{3}=0$$.
Найти сумму и произведение выражений:
1) $$x+v(x^2-y)$$ и $$x-v(x^2-y)$$;
2) $$-x+v(y+x^2)$$ и $$-x-v(y+x^2)$$.
Сократить дробь:
1) $$\frac{(2x+1)(x+3)}{(3+x)2x}$$;
2) $$\frac{(1-3x)(x+2)}{(x-3)(3x-1)}$$.
Найти произведение корней уравнения $$x^2-5x+6=0$$ и сравнить его со свободным членом уравнения.
Найти сумму корней уравнения $$x^2-5x+6=0$$ и сравнить ее со вторым коэффициентом уравнения.

Подробный ответ

Решим уравнения:
1) $$x^2-81=0$$
$$x^2=81$$
$$x=\pm 9$$
2) $$5x^2+15x=0$$
$$5x(x+3)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-3$$
3) $$(x-2)^2=0$$
$$x-2=0$$
$$x=2$$
4) $$(x+1)^2-1=0$$
$$(x+1)^2=1$$
$$x+1=1 \text{ или } x+1=-1$$
$$x=0 \text{ или } x=-2$$
Назовём коэффициенты квадратных уравнений:
1) $$2x^2-3x+1=0 \Rightarrow a=2,\ b=-3,\ c=1$$
2) $$-x^2-2x+3=0 \Rightarrow a=-1,\ b=-2,\ c=3$$
3) $$-5x^2-12x=0 \Rightarrow a=-5,\ b=-12,\ c=0$$
4) $$7x^2-13=0 \Rightarrow a=7,\ b=0,\ c=-13$$
Вычислим $$b^2-4ac$$:
1) $$a=1,\ b=3,\ c=-5$$
$$b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot(-5)=9+20=29$$
2) $$a=6,\ b=-2,\ c=1$$
$$b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot 6\cdot 1=4-24=-20$$
3) $$a=-1,\ b=4,\ c=-2$$
$$b^2-4ac=4^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=16-8=8$$
4) $$a=-2,\ b=-5,\ c=-1$$
$$b^2-4ac=(-5)^2-4\cdot(-2)\cdot(-1)=25-8=17$$
Представим выражения в виде квадрата одночлена:
1) $$4a^2=(2a)^2$$
2) $$a^2b^4=(ab^2)^2$$
3) $$2a^6=(\sqrt{2}a^3)^2$$
4) $$\frac{3}{25}b^8=\left(\frac{\sqrt{3}}{5}b^4\right)^2$$
Решим уравнения:
1) $$x^2-0{,}09=0$$
$$x^2=0{,}09$$
$$x=\pm 0{,}3$$
2) $$x^2+\frac{1}{3}x=0$$
$$x\left(x+\frac{1}{3}\right)=0$$
$$x=0 \text{ или } x=-\frac{1}{3}$$
3) $$x^2+4x+4=0$$
$$\left(x+2\right)^2=0$$
$$x=-2$$
4) $$(x+2)^2-4=0$$
$$\left(x+2\right)^2=4$$
$$x+2=2 \text{ или } x+2=-2$$
$$x=0 \text{ или } x=-4$$
Разделим обе части уравнения на первый коэффициент:
1) $$2x^2-3x+5=0$$
$$x^2-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}=0$$
2) $$\frac{1}{3}x^2+2x-\frac{2}{3}=0$$
$$x^2+6x-2=0$$
Найдём сумму и произведение выражений:
1) $$x+\sqrt{x^2-y} \text{ и } x-\sqrt{x^2-y}$$
Сумма:
$$\left(x+\sqrt{x^2-y}\right)+\left(x-\sqrt{x^2-y}\right)=2x$$
Произведение:
$$\left(x+\sqrt{x^2-y}\right)\left(x-\sqrt{x^2-y}\right)=x^2-(x^2-y)=y$$
2) $$-x+\sqrt{y+x^2} \text{ и } -x-\sqrt{y+x^2}$$
Сумма:
$$\left(-x+\sqrt{y+x^2}\right)+\left(-x-\sqrt{y+x^2}\right)=-2x$$
Произведение:
$$\left(-x+\sqrt{y+x^2}\right)\left(-x-\sqrt{y+x^2}\right)=x^2-(y+x^2)=-y$$
Сократим дроби:
1) $$\frac{(2x+1)(x+3)}{(3+x)2x}=\frac{(2x+1)(x+3)}{(x+3)2x}=\frac{2x+1}{2x}$$
2) $$\frac{(1-3x)(x+2)}{(x-3)(3x-1)}=\frac{-(3x-1)(x+2)}{(x-3)(3x-1)}=\frac{-(x+2)}{x-3}=\frac{x+2}{3-x}$$
Для уравнения $$x^2-5x+6=0$$ по теореме Виета:
$$x_1x_2=6$$
Произведение корней равно свободному члену.
Для уравнения $$x^2-5x+6=0$$:
$$x_1+x_2=5$$
Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком.