Вводные упражнения 31 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
1) x^2=25; 2) x^2=5; 3) x^2=-5; 4) x^2=0.
2. Представить в виде квадрата одночлена:
1) 16x^4; 2) 4/81 y^4; 3) x^6 y^8; 4) 0,01x^10 y^12.
3. Найти допустимые значения букв, входящих в выражение:
1) a/(x-5)-4/(x+3); 2) 5/x(x+1) +b/(x-2).
4. Подбором найти корни уравнения:
1) x^2-5x+4=0; 2) x^2-x-2=0;
3) x^2+9x+18=0; 4) x^2-7x+12=0.
5. Убедившись в том, что x=-1 является корнем уравнения, найти второй его корень: 1) x^2+7x+6=0; 2) x^2-8x-9=0.
6. Разложить на множители трехчлен:
1) x^2-6x-7; 2) 2x^2-5x+3.
1. В прямоугольном равнобедренном треугольнике катет равен x см, а гипотенуза на 8 см больше катета. Записать выражения для нахождения периметра и площади этого треугольника.
2. Тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью 50 км/ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое тело преодолеет расстояние s.
3. Лодка движется: 1) по течению реки; 2) против течения реки с собственной скоростью 7 км/ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое лодка преодолеет расстояние s, если скорость течения реки x км/ч (известно, что x<7)/
4. Рабочий может выполнить весь объем работы за x ч, а его ученик - за y ч. Записать выражение для нахождения времени, за которое весь объем работы выполнят рабочий и его ученик, если будут работать совместно.
5. Клиент положил на новый счет в банке x р. под 5 % годовых. Какую максимальную сумму он сможет снять с этого счета через год?
6. Найти подбором положительный корень уравнения:
1) x^2+6x-16=0; 2) x^2-7x-30=0.
7. Решить уравнение: 1) (x-2)/(x^2-4)=0; 2) (x^2-9)/(x+3)=0.
$$x^2=25 \Rightarrow x=\pm 5.$$
$$x^2=5 \Rightarrow x=\pm \sqrt{5}.$$
$$x^2=-5$$
корней нет, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
$$x^2=0 \Rightarrow x=0.$$$$16x^4=(4x^2)^2,$$
$$\frac{4}{81}y^4=\left(\frac{2}{9}y^2\right)^2,$$
$$x^6y^8=(x^3y^4)^2,$$
$$0{,}01x^{10}y^{12}=(0{,}1x^5y^6)^2.$$1) Для выражения $$\frac{a}{x-5}-\frac{4}{x+3}$$ знаменатели не должны обращаться в нуль:
$$x-5\ne 0,\quad x+3\ne 0.$$
Значит, $$x\ne 5,\; x\ne -3.$$2) Для выражения $$\frac{5}{x(x+1)}+\frac{b}{x-2}$$:
$$x(x+1)\ne 0,\quad x-2\ne 0.$$
Отсюда $$x\ne 0,\; x\ne -1,\; x\ne 2.$$1) $$x^2-5x+4=0$$
$$x_1+x_2=5,\quad x_1x_2=4,$$
значит, $$x_1=1,\; x_2=4.$$2) $$x^2-x-2=0$$
$$x_1+x_2=1,\quad x_1x_2=-2,$$
значит, $$x_1=-1,\; x_2=2.$$3) $$x^2+9x+18=0$$
$$x_1+x_2=-9,\quad x_1x_2=18,$$
значит, $$x_1=-6,\; x_2=-3.$$4) $$x^2-7x+12=0$$
$$x_1+x_2=7,\quad x_1x_2=12,$$
значит, $$x_1=3,\; x_2=4.$$1) $$x^2+7x+6=0.$$
Один корень $$x_1=-1$$. Тогда
$$x_1+x_2=-7,$$
$$-1+x_2=-7,$$
$$x_2=-6.$$2) $$x^2-8x-9=0.$$
Один корень $$x_1=-1$$. Тогда
$$x_1x_2=-9,$$
$$(-1)\cdot x_2=-9,$$
$$x_2=9.$$1) $$x^2-6x-7=(x-7)(x+1).$$
Значит, корни: $$x=7$$ и $$x=-1.$$2) $$2x^2-5x+3=2\left(x-\frac{3}{2}\right)(x-1)=(2x-3)(x-1).$$
Значит, корни: $$x=\frac{3}{2}$$ и $$x=1.$$Пусть $$x$$ см — катет, тогда гипотенуза равна $$x+8$$ см. В прямоугольном равнобедренном треугольнике второй катет тоже равен $$x$$.
Периметр:
$$P=x+x+(x+8)=3x+8\text{ см}.$$Площадь:
$$S=\frac{1}{2}\cdot x\cdot x=\frac{x^2}{2}\text{ см}^2.$$При равномерном движении $$s=vt$$, где $$v=50$$ км/ч. Тогда
$$t=\frac{s}{50}.$$Пусть $$x$$ км/ч — скорость течения реки, тогда:
1) по течению скорость лодки $$7+x$$, значит
$$t=\frac{s}{7+x}\text{ ч};$$2) против течения скорость лодки $$7-x$$, значит
$$t=\frac{s}{7-x}\text{ ч}.$$За 1 час рабочий выполняет $$\frac{1}{x}$$ работы, а ученик — $$\frac{1}{y}$$ работы. Вместе они выполнят весь объём за
$$t=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=\frac{xy}{x+y}\text{ ч}.$$Через год на счёте будет
$$x+0{,}05x=1{,}05x.$$
Значит, максимальная сумма, которую можно снять, равна $$1{,}05x$$ руб.1) $$x^2+6x-16=0.$$
Подбором получаем:
$$x_1=-8,\quad x_2=2.$$
Положительный корень: $$x=2.$$2) $$x^2-7x-30=0.$$
Подбором получаем:
$$x_1=10,\quad x_2=-3.$$
Положительный корень: $$x=10.$$1) $$\frac{x-2}{x^2-4}=0.$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
$$x-2=0 \Rightarrow x=2.$$
Но $$x^2-4=(x-2)(x+2)=0$$ при $$x=2$$, значит, это значение не подходит.
Корней нет.2) $$\frac{x^2-9}{x+3}=0.$$
$$x^2-9=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Но $$x=-3$$ не подходит, так как знаменатель обращается в нуль.
Остаётся $$x=3.$$
Ответ
1) $$x=\pm 5$$; 2) $$x=\pm \sqrt{5}$$; 3) корней нет; 4) $$x=0$$.
1) $$\left(4x^2\right)^2$$; 2) $$\left(\frac{2}{9}y^2\right)^2$$; 3) $$\left(x^3y^4\right)^2$$; 4) $$\left(0{,}1x^5y^6\right)^2$$.
1) $$x\ne 5,\; x\ne -3$$; 2) $$x\ne 0,\; x\ne -1,\; x\ne 2$$.
1) $$x=1,\;4$$; 2) $$x=-1,\;2$$; 3) $$x=-6,\;-3$$; 4) $$x=3,\;4$$.
1) $$x_2=-6$$; 2) $$x_2=9$$.
1) $$x^2-6x-7=(x-7)(x+1)$$; 2) $$2x^2-5x+3=(2x-3)(x-1)$$.
1) $$P=3x+8\text{ см},\; S=\frac{x^2}{2}\text{ см}^2$$; 2) $$t=\frac{s}{50}$$; 3) $$t=\frac{s}{7+x}\text{ ч}$$ и $$t=\frac{s}{7-x}\text{ ч}$$; 4) $$t=\frac{xy}{x+y}\text{ ч}$$; 5) $$1{,}05x$$ руб.; 6) 1) $$x=2$$, 2) $$x=10$$; 7) 1) корней нет, 2) $$x=3$$.
