Устные вопросы и задания 10 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

2. Что означает неравенство a?b; a?b?
3. Перечислить свойства нестрогих неравенств.
4. Назвать противоположные знаки строгих и нестрогих неравенств.
5. Дано неравенство a?5. Объяснить, почему a+10?15 является верным неравенством. Является ли верным неравенство -5a?-25? 1. Сформулировать определение модуля числа.
2. В чем заключается геометрический смысл модуля числа?
3. Сколько корней имеет уравнение |x|=a, если a>0; a=0?
4. Решить уравнение |x|=-7.
5. Что является решениями неравенств |x|?a и |x|?a, если a>0?
6. Решить неравенство |x|?a, если a=0; a<0. 7. Решить неравенство |x|?a, если a<0. 8. Привести пример неравенства, которому удовлетворяет множество чисел, изображенных на числовой оси (рис.26,27).

1. Неравенства со знаками $$>$$ и $$<$$ называют строгими.

   Неравенства со знаками $$\ge$$ и $$\le$$ называют нестрогими.

2. $$a \le b$$ означает, что $$a$$ меньше или равно $$b$$.

   $$a \ge b$$ означает, что $$a$$ больше или равно $$b$$.

3. Свойства нестрогих неравенств:

   • если $$a \ge b$$ и $$b \ge c$$, то $$a \ge c$$;
   • если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, знак неравенства не изменится;
   • если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, знак неравенства не изменится;
   • если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, знак неравенства изменится на противоположный;
   • если сложить неравенства одинакового знака, получится неравенство того же знака;
   • если перемножить неравенства одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получится неравенство того же знака.

4. Для строгих неравенств противоположными считаются знаки $$>$$ и $$<$$, для нестрогих — $$\ge$$ и $$\le$$.

5. Если $$a \ge 5$$, то при прибавлении к обеим частям числа $$10$$ получаем:

   $$a + 10 \ge 5 + 10,$$

   то есть $$a + 10 \ge 15$$ — верно.

   При умножении на $$-5$$ знак неравенства меняется на противоположный:

   $$-5a \le -25,$$

   это неравенство тоже верно.

6. Определение модуля числа:

   $$|a| = a,\ \text{если } a \ge 0; \qquad |a| = -a,\ \text{если } a < 0.$$

7. Геометрический смысл модуля числа: $$|a|$$ — это расстояние от точки $$0$$ до точки, изображающей число $$a$$ на числовой оси.

8. Уравнение $$|x| = a$$:

   если $$a > 0$$, имеет два корня;

   если $$a = 0$$, имеет один корень.

9. $$|x| = -7$$

   Корней нет, так как $$-7 < 0$$.

10. Если $$a > 0$$, то:

    $$|x| \le a \iff -a \le x \le a,$$

    $$|x| \ge a \iff x \le -a \text{ или } x \ge a.$$

11. Если $$a = 0$$, то:

    $$|x| \le 0 \iff x = 0.$$

    Если $$a < 0$$, то решений нет.

12. Если $$a < 0$$, то неравенство $$|x| \ge a$$ верно при любом $$x$$, то есть $$x$$ — любое число.

13. По рисунку 26 можно записать, например:

    $$|x| \le 2 \quad \text{или} \quad |x| < 3.$$

    По рисунку 27 можно записать, например:

    $$|x| \ge 5 \quad \text{или} \quad |x| > 4.$$

Ответ

1) $$>$$ и $$<$$ — строгие неравенства; $$\ge$$ и $$\le$$ — нестрогие.
2) $$a \le b$$ — $$a$$ меньше или равно $$b$$; $$a \ge b$$ — $$a$$ больше или равно $$b$$.
3) Свойства нестрогих неравенств перечислены выше.
4) Противоположные знаки: для строгих — $$>$$ и $$<$$, для нестрогих — $$\ge$$ и $$\le$$.
5) $$a+10 \ge 15$$ — верно; $$-5a \le -25$$ — верно.
6) $$|a|=a$$ при $$a\ge0$$, $$|a|=-a$$ при $$a<0$$.
7) $$|a|$$ — расстояние от 0 до точки $$a$$ на числовой оси.
8) Если $$a>0$$, то уравнение $$|x|=a$$ имеет два корня, а при $$a=0$$ — один корень.
9) $$|x|=-7$$ — корней нет.
10) $$|x|\le a \iff -a\le x\le a$$, $$|x|\ge a \iff x\le -a$$ или $$x\ge a$$ при $$a>0$$.
11) При $$a=0$$: $$x=0$$; при $$a<0$$: решений нет для $$|x|\le a$$.
12) При $$a<0$$ неравенство $$|x|\ge a$$ верно при любом $$x$$.
13) Возможные ответы по рисункам: $$|x|\le2$$, $$|x|<3$$, $$|x|\ge5$$, $$|x|>4$$.