Устные вопросы и задания 41 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
- Как называются абсциссы точек пересечения графика функции с осью $$Ox$$?
- Установить, какие из указанных точек расположены на координатной плоскости выше оси абсцисс: $$\left(0;5\right)$$; $$\left(-3;-2\right)$$; $$\left(4;-4\right)$$; $$\left(6;0\right)$$; $$\left(-10;1\right)$$.
- Установить, какие из указанных точек расположены на координатной плоскости ниже оси абсцисс: $$\left(0;-3\right)$$; $$\left(-8;5\right)$$; $$\left(-7;0\right)$$; $$\left(6;4\right)$$; $$\left(-9;-12\right)$$.
- Сколько общих точек с осью абсцисс имеет парабола:
1) $$y=x^2+2x+1$$;
2) $$y=x^2-2x-3$$;
3) $$y=-2x^2+x+5$$;
4) $$y=-4x^2+4x-1$$? - Установить, имеет ли общие точки с осью $$Ox$$ парабола:
1) $$y=x^2-3x-5$$;
2) $$y=x^2-x+\frac{1}{4}$$;
3) $$y=-x^2+2x+4$$. - В какой полуплоскости относительно оси $$Ox$$ должна быть расположена парабола $$y=ax^2+bx+c$$, чтобы не имело решений неравенство:
1) $$ax^2+bx+c>0$$;
2) $$ax^2+bx+c\geq 0$$? - В какой полуплоскости относительно оси $$Ox$$ должна быть расположена парабола $$y=ax^2+bx+c$$, чтобы любое действительное число было решением неравенства:
1) $$ax^2+bx+c<0$$;
2) $$ax^2+bx+c\leq 0$$? - Сформулировать алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика.
- Абсциссы точек пересечения графика функции с осью $$Ox$$ называются нулями функции.
- Выше оси абсцисс расположены точки, у которых ордината положительна, то есть $$y>0$$:
$$(-8;5),\ (6;4).$$ - Ниже оси абсцисс расположены точки, у которых ордината отрицательна, то есть $$y<0$$:
$$(0;-3),\ (-9;-12).$$ - Найдём число общих точек с осью $$Ox$$, решая уравнение $$ax^2+bx+c=0$$.
1) $$x^2+2x+1=0$$
$$D=2^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0,$$
значит, парабола имеет одну общую точку с осью $$Ox$$.
2) $$x^2-2x-3=0$$
$$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16>0,$$
значит, парабола имеет две общие точки с осью $$Ox$$.
3) $$-2x^2+x+5=0$$
$$D=1-4\cdot(-2)\cdot5=1+40=41>0,$$
значит, парабола имеет две общие точки с осью $$Ox$$.
4) $$-4x^2+4x-1=0$$
$$D=4^2-4\cdot(-4)\cdot(-1)=16-16=0,$$
значит, парабола имеет одну общую точку с осью $$Ox$$.
- Проверим, имеет ли уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ действительные корни.
1) $$x^2-3x-5=0$$
$$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-5)=9+20=29>0,$$
значит, парабола имеет две общие точки с осью $$Ox$$.
2) $$x^2-x+\frac14=0$$
$$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot\frac14=1-1=0,$$
значит, парабола имеет одну общую точку с осью $$Ox$$.
3) $$-x^2+2x+4=0$$
$$D=2^2-4\cdot(-1)\cdot4=4+16=20>0,$$
значит, парабола имеет две общие точки с осью $$Ox$$.
- Чтобы неравенство $$ax^2+bx+c>0$$ не имело решений, парабола должна быть расположена не выше оси $$Ox$$, то есть целиком ниже оси $$Ox$$ или касаться её сверху не должна.
Чтобы неравенство $$ax^2+bx+c\le 0$$ не имело решений, парабола должна быть расположена выше оси $$Ox$$. - Чтобы любое действительное число было решением неравенства:
1) $$ax^2+bx+c<0$$,
парабола должна целиком лежать ниже оси $$Ox$$.
2) $$ax^2+bx+c\ge 0$$,
парабола должна целиком лежать выше оси $$Ox$$.
- Алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика:
- определить направление ветвей параболы;
- найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения;
- построить эскиз графика квадратичной функции;
- по графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения.
Ответ
1) Нулями функции. 2) $$(-8;5),\ (6;4).$$ 3) $$(0;-3),\ (-9;-12).$$ 4) 1) одна; 2) две; 3) две; 4) одна. 5) 1) да, две; 2) да, одна; 3) да, две. 6) $$>0$$ — ниже оси $$Ox$$, $$\le 0$$ — выше оси $$Ox$$. 7) $$<0$$ — ниже оси $$Ox$$, $$\ge 0$$ — выше оси $$Ox$$. 8) См. алгоритм выше.
