Устные вопросы и задания 41 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

2. Установить, какие из указанных точек расположены на координатной плоскости выше оси абсцисс: (0;5); (-3;-2); (4;-4); (6;0); (-10;1).
3. Установить, какие из указанных точек расположены на координатной плоскости ниже оси абсцисс: (0;-3); (-8;5); (-7; 0); (6;4); (-9;-12).
4. Сколько общих точек с осью абсцисс имеет парабола:
1) y=x^2+2x+1; 2) y=x^2-2x-3;
3) y=-2x^2+x+5; 4) y=-4x^2+4x-1?
5. Установить, имеет ли общие точки с осью Ox парабола:
1) y=x^2-3x-5; 2) y=x^2-x+1/4; 3) y=-x^2+2x+4.
6. В какой полуплоскости относительно оси Ox должна быть расположена парабола y=ax^2 +bx+c, чтобы не имело решений неравенство:
1) ax^2+bx+c>0; 2) ax^2+bx+c?0.
7. В какой полуплоскости (относительно оси Ox) должна быть расположена парабола y=ax^2 +bx+c, чтобы любое действительное число было решением неравенства:
1) ax^2+bx+c<0; 2) ax^2+bx+c?0? 8. Сформулировать алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика.

1. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью $$Ox$$ называются нулями функции.
2. Выше оси абсцисс расположены точки, у которых ордината положительна, то есть $$y>0$$:
   $$(-8;5),\ (6;4).$$
3. Ниже оси абсцисс расположены точки, у которых ордината отрицательна, то есть $$y<0$$:
   $$(0;-3),\ (-9;-12).$$
4. Найдём число общих точек с осью $$Ox$$, решая уравнение $$ax^2+bx+c=0$$.

   1) $$x^2+2x+1=0$$

   $$D=2^2-4\cdot1\cdot1=4-4=0,$$

   значит, парабола имеет одну общую точку с осью $$Ox$$.

   2) $$x^2-2x-3=0$$

   $$D=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16>0,$$

   значит, парабола имеет две общие точки с осью $$Ox$$.

   3) $$-2x^2+x+5=0$$

   $$D=1-4\cdot(-2)\cdot5=1+40=41>0,$$

   значит, парабола имеет две общие точки с осью $$Ox$$.

   4) $$-4x^2+4x-1=0$$

   $$D=4^2-4\cdot(-4)\cdot(-1)=16-16=0,$$

   значит, парабола имеет одну общую точку с осью $$Ox$$.

5. Проверим, имеет ли уравнение $$ax^2+bx+c=0$$ действительные корни.

   1) $$x^2-3x-5=0$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot1\cdot(-5)=9+20=29>0,$$

   значит, парабола имеет две общие точки с осью $$Ox$$.

   2) $$x^2-x+\frac14=0$$

   $$D=(-1)^2-4\cdot1\cdot\frac14=1-1=0,$$

   значит, парабола имеет одну общую точку с осью $$Ox$$.

   3) $$-x^2+2x+4=0$$

   $$D=2^2-4\cdot(-1)\cdot4=4+16=20>0,$$

   значит, парабола имеет две общие точки с осью $$Ox$$.

6. Чтобы неравенство $$ax^2+bx+c>0$$ не имело решений, парабола должна быть расположена не выше оси $$Ox$$, то есть целиком ниже оси $$Ox$$ или касаться её сверху не должна.
   
   Чтобы неравенство $$ax^2+bx+c\le 0$$ не имело решений, парабола должна быть расположена выше оси $$Ox$$.
7. Чтобы любое действительное число было решением неравенства:

   1) $$ax^2+bx+c<0$$,

   парабола должна целиком лежать ниже оси $$Ox$$.

   2) $$ax^2+bx+c\ge 0$$,

   парабола должна целиком лежать выше оси $$Ox$$.

8. Алгоритм решения квадратного неравенства с помощью графика:
   1. определить направление ветвей параболы;
   2. найти действительные корни соответствующего квадратного уравнения;
   3. построить эскиз графика квадратичной функции;
   4. по графику определить промежутки, на которых функция принимает нужные значения.

Ответ

1) Нулями функции. 2) $$(-8;5),\ (6;4).$$ 3) $$(0;-3),\ (-9;-12).$$ 4) 1) одна; 2) две; 3) две; 4) одна. 5) 1) да, две; 2) да, одна; 3) да, две. 6) $$>0$$ — ниже оси $$Ox$$, $$\le 0$$ — выше оси $$Ox$$. 7) $$<0$$ — ниже оси $$Ox$$, $$\ge 0$$ — выше оси $$Ox$$. 8) См. алгоритм выше.