Устные вопросы и задания 31 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Задание учебника 2024 года
- Какое уравнение называют биквадратным? Привести пример биквадратного уравнения.
- Какую замену неизвестного нужно выполнить, чтобы уравнение $$ax^4+bx^2+c=0\ (a\ne0)$$ привести к виду квадратного?
- Сколько действительных корней может иметь биквадратное уравнение?
- Какое выражение является общим знаменателем дробей: 1) $$\frac{1}{x-5}$$ и $$\frac{2}{x+6}$$; 2) $$\frac{1}{x-4}$$ и $$\frac{1}{x^2-16}$$?
- Почему при решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе дроби, необходима проверка?
Задание учебника 2013 года
- Назвать этапы решения задачи 1.
- По какой формуле находится расстояние $$s$$, пройденное телом при свободном падении за время $$t$$, если его начальная скорость равна $$0$$?
- Как называется выражение $$6x(x+20)$$ для дробей, входящих в уравнение (1)?
- Какое свойство уравнений используется для получения уравнения (2) из уравнения $$6\frac{2}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\right)=1$$?
- Почему в задаче 2 только один из корней уравнения (1) удовлетворяет условию задачи?
Биквадратным называют уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0,$$ где $$a\ne 0.$$
Пример: $$x^4-5x^2+4=0.$$
Чтобы уравнение $$ax^4+bx^2+c=0$$ привести к квадратному, нужно сделать замену:
$$t=x^2.$$
Биквадратное уравнение может иметь 0, 2 или 4 действительных корня.
Общий знаменатель дробей:
- $$\frac{1}{x-5}$$ и $$\frac{2}{x+6}$$ — $$$(x-5)(x+6)$$;
- $$\frac{1}{x-4}$$ и $$\frac{1}{x^2-16}$$ — $$x^2-16=(x-4)(x+4),$$ значит общий знаменатель $$$(x-4)(x+4)$$.
При решении уравнений с неизвестным в знаменателе нужна проверка, потому что при умножении на выражение с переменной можно получить посторонние корни, а также нужно исключить значения, при которых знаменатель равен нулю.
Этапы решения задачи 1:
1) введение переменной;
2) составление уравнения;
3) решение уравнения;
4) выбор ответа.При свободном падении тела с начальной скоростью $$0$$ расстояние находится по формуле:
$$s=\frac{gt^2}{2}.$$
Выражение $$6x(x+20)$$ для дробей в уравнении $$\frac{40}{x}-\frac{40}{x+20}=\frac16$$ называется общим знаменателем.
При переходе от уравнения
$$6\frac{2}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}\right)=1$$
к уравнению
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+3}=\frac{3}{20}$$
использовали свойство: деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
В задаче 2 получили корни $$x_1=60$$ и $$x_2=-80,$$ при этом $$x$$ — скорость автобуса. Так как скорость не может быть отрицательной, корень $$x_2=-80$$ не подходит. Поэтому условию задачи удовлетворяет только один корень.
Ответ
1) Биквадратное уравнение — это уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0,$$ $$a\ne 0$$; пример: $$x^4-5x^2+4=0$$.
2) $$t=x^2$$.
3) $$0, 2$$ или $$4$$ действительных корня.
4) 1) $$$(x-5)(x+6)$$; 2) $$$(x-4)(x+4)$$.
5) Нужна проверка, чтобы исключить посторонние корни и значения, обращающие знаменатель в нуль.
6) 1) введение переменной; 2) составление уравнения; 3) решение уравнения; 4) выбор ответа.
7) $$s=\frac{gt^2}{2}$$.
8) Общий знаменатель.
9) Деление обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.
10) Только корень $$x=60$$.
