Устные вопросы и задания 29 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)
Задание учебника 2024 года
- Обосновать верность равенства $$\frac{b}{a}=2\cdot\frac{b}{2a}$$.
- С помощью свойств уравнений обосновать этапы преобразования уравнения $$ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)$$ к виду (1).
- Прочитать формулу $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$.
- Как называется выражение $$b^2-4ac$$, где $$a$$ и $$b$$ — коэффициенты, $$c$$ — свободный член квадратного уравнения $$ax^2+bx+c=0$$? Как обозначают это выражение?
- При каких условиях квадратное уравнение не имеет действительных корней; имеет один корень; имеет два корня?
- Обосновать вывод формулы корней квадратного уравнения, у которого второй коэффициент представим в виде $$2m$$, где $$m$$ — целое число.
Задание учебника 2013 года
- Какое квадратное уравнение называют приведённым?
- Преобразовать уравнение $$3x^2-6x+7=0$$ к виду приведённого квадратного уравнения.
- Привести формулу корней квадратного уравнения вида $$x^2+px+q=0$$.
- Сформулировать теорему Виета.
- Сформулировать теорему Виета для случая $$x_1=x_2$$.
- Сформулировать теорему, обратную теореме Виета.
- Известно, что один из корней квадратного уравнения:
- $$x^2+px+10=0$$;
- $$x^2+px-7=0$$
отрицателен. Определить знак второго корня.
- Каким методом разложен на множители числитель дроби в задаче 6?
- Разложить на множители квадратный трёхчлен $$ky^2+ly+m$$, если $$y_1$$ и $$y_2$$ — корни уравнения $$ky^2+ly+m=0$$.
$$\frac{b}{a}=2\cdot\frac{b}{2a}$$
Сократим $$2$$ в правой части:
$$2\cdot\frac{b}{2a}=\frac{b}{a}$$
Значит, равенство верно.
$$ax^2+bx+c=0 \quad (a\ne 0)$$
Разделим обе части уравнения на $$a$$:
$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
Перенесём свободный член в правую часть:
$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$
Добавим к обеим частям выражение, чтобы слева получился квадрат двучлена:
$$x^2+2\cdot\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$
Тогда
$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
Читается так: $$x$$ один и $$x$$ два равны минус $$b$$ плюс-минус корень квадратный из $$b^2-4ac$$, всё делённое на $$2a$$.
Выражение $$b^2-4ac$$ называется дискриминантом и обозначается буквой $$D$$.
Если $$D<0$$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если $$D=0$$, уравнение имеет один корень.
Если $$D>0$$, уравнение имеет два корня.
Пусть $$b=2m$$. Тогда
$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2m\pm\sqrt{(2m)^2-4ac}}{2a}$$
$$=\frac{-2m\pm\sqrt{4m^2-4ac}}{2a}=\frac{-2m\pm 2\sqrt{m^2-ac}}{2a}$$
$$=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-ac}}{a}$$
То есть, если второй коэффициент чётный, корни можно находить по формуле
$$x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-ac}}{a}.$$
Приведённым называют квадратное уравнение вида
$$x^2+px+q=0.$$
$$3x^2-6x+7=0$$
Разделим обе части на $$3$$:
$$x^2-2x+\frac{7}{3}=0.$$
Для уравнения
$$x^2+px+q=0$$
формула корней имеет вид
$$x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$
или
$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}.$$
Теорема Виета: если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0$$, то
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$
То есть сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Если $$x_1=x_2$$, то теорема Виета также справедлива:
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$
Обратная теорема Виета: если числа $$p, q, x_1, x_2$$ таковы, что
$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q,$$
то $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения
$$x^2+px+q=0.$$
1) Для уравнения $$x^2+px+10=0$$ имеем
$$x_1x_2=10.$$
Если один корень отрицателен, то и второй отрицателен, значит, произведение положительно.
Следовательно, $$x_2<0$$.
2) Для уравнения $$x^2+px-7=0$$ имеем
$$x_1x_2=-7.$$
Если один корень отрицателен, то второй положителен, значит, произведение отрицательно.
Следовательно, $$x_2>0$$.
Числитель дроби разложен на множители методом вынесения общего множителя за скобки.
Если $$y_1$$ и $$y_2$$ — корни уравнения $$ky^2+ly+m=0$$, то
$$ky^2+ly+m=k(y-y_1)(y-y_2).$$
Ответ
1) $$\frac{b}{a}=2\cdot\frac{b}{2a}$$; 2) $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$; 3) $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$; 4) дискриминант, $$D$$; 5) $$D<0$$ — корней нет, $$D=0$$ — один корень, $$D>0$$ — два корня; 6) $$x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-ac}}{a}$$; 7) приведённое уравнение — $$x^2+px+q=0$$; 8) $$x^2-2x+\frac{7}{3}=0$$; 9) $$x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$; 10) $$x_1+x_2=-p,\ x_1x_2=q$$; 11) теорема Виета верна; 12) если $$x_1+x_2=-p$$ и $$x_1x_2=q$$, то $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни $$x^2+px+q=0$$; 13) $$x_2<0$$; $$x_2>0$$; 14) вынесение общего множителя за скобки; 15) $$ky^2+ly+m=k(y-y_1)(y-y_2)$$.
