Устные вопросы и задания 30 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

2. Преобразовать уравнение 3x^2-6x+7=0 к виду приведенного квадратного уравнения.
3. Привести формулу корней квадратного уравнения вида x^2+px+q=0.
4. Сформулировать теорему Виета.
5. Сформулировать теорему Виета для случая x_1=x_2.
6. Сформулировать теорему, обратную теореме Виета.
7. Известно, что один из корней квадратного уравнения: 1) x^2+px+10=0; 2) x^2+px-7=0-отрицателен. Определить знак второго корня.
8. Каким методом разложен на множители числитель дроби в задаче 6?
9. Разложить на множители квадратный трехчлен ky^2+ly+m, если y_1 и y_2 — корни уравнения ky^2+ly+m=0. 1. Какое уравнение называют биквадратным? Привести пример биквадратного уравнения.
2. Какую замену неизвестного нужно выполнить, чтобы уравнение ax^4+bx^2+c=0 (a?0) привести к виду квадратного?
3. Сколько действительных корней может иметь биквадратное уравнение?
4. Какое выражение является общим знаменателем дробей:
1) 1/(x-5) и 2/(x+6); 2) 1/(x-4) и 1/(x^2-16).
5. Почему при решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе дроби, необходима проверка?

1. Приведённым называют квадратное уравнение вида $$x^2+px+q=0.$$
2. Разделим обе части уравнения $$3x^2-6x+7=0$$ на $$3$$:
   $$x^2-2x+\frac{7}{3}=0.$$
3. Для уравнения $$x^2+px+q=0$$ корни находятся по формуле:
   $$ x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2} $$
   или
   $$ x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}. $$
4. Теорема Виета: если $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0,$$ то
   $$ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. $$
   То есть сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
5. Если $$x_1=x_2,$$ то теорема Виета также справедлива:
   $$ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q. $$
6. Обратная теорема Виета: если числа $$x_1$$ и $$x_2$$ таковы, что
   $$ x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q, $$
   то $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0.$$
7. 1) Для уравнения $$x^2+px+10=0$$ имеем
   $$ x_1x_2=10. $$
   Если один корень отрицателен, то и второй тоже отрицателен, так как произведение положительное.
   
   2) Для уравнения $$x^2+px-7=0$$ имеем
   $$ x_1x_2=-7. $$
   Если один корень отрицателен, то второй положителен, так как произведение отрицательное.
8. Числитель дроби разложен на множители методом вынесения общего множителя за скобки.
9. Если $$y_1$$ и $$y_2$$ — корни уравнения $$ky^2+ly+m=0,$$ то
   $$ ky^2+ly+m=k(y-y_1)(y-y_2). $$
10. Биквадратным называют уравнение вида $$ax^4+bx^2+c=0,$$ где $$a\ne 0.$$
11. Чтобы привести уравнение $$ax^4+bx^2+c=0$$ к квадратному, делают замену:
    $$ x^2=t. $$
12. Биквадратное уравнение может иметь не более четырёх действительных корней.
13. 1) Для дробей $$\frac{1}{x-5}$$ и $$\frac{2}{x+6}$$ общий знаменатель:
    $$ (x-5)(x+6). $$
    2) Для дробей $$\frac{1}{x-4}$$ и $$\frac{1}{x^2-16}=\frac{1}{(x-4)(x+4)}$$ общий знаменатель:
    $$ x^2-16. $$
14. При решении уравнения, содержащего неизвестное в знаменателе дроби, нужна проверка, потому что при умножении на выражение с неизвестным могут появиться посторонние корни.

Ответ

1) $$x^2+px+q=0$$; 2) $$x^2-2x+\frac{7}{3}=0$$; 3) $$x_{1,2}=\frac{-p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$$; 4) $$x_1+x_2=-p,\ x_1x_2=q$$; 5) теорема Виета справедлива; 6) если $$x_1+x_2=-p$$ и $$x_1x_2=q,$$ то $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения; 7) 1) $$x_2<0$$, 2) $$x_2>0$$; 8) вынесение общего множителя за скобки; 9) $$ky^2+ly+m=k(y-y_1)(y-y_2)$$; 10) $$ax^4+bx^2+c=0,\ a\ne 0$$; 11) $$x^2=t$$; 12) не более четырёх; 13) 1) $$(x-5)(x+6)$$, 2) $$x^2-16$$; 14) возможны посторонние корни.