Устные вопросы и задания 28 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

2. Пояснить цель второго этапа преобразования уравнения в задаче 2.
3. Пояснить цель третьего этапа преобразования уравнения в задаче 3. 1. Обосновать верность равенства b/a=2•b/2a.
2. С помощью свойств уравнений обосновать этапы преобразования уравнения ax^2+bx+c=0 (a?0) к виду (1).
3. Прочитать формулу x_1,2=(-b±v(b^2-4ac))/2a.
4. Как называется выражение b^2-4ac, где a и b — коэффициенты, c — свободный член квадратного уравнения ax^2+bx+c=0? Как обозначают это выражение?
5. При каких условиях квадратное уравнение не имеет действительных корней; имеет один корень; имеет два корня?
6. Обосновать вывод формулы корней квадратного уравнения, у которого второй коэффициент представим в виде 2m, где m — целое число.

1. Преобразуем уравнение $$x^2+2x-3=0$$ к виду полного квадрата:

   $$x^2+2x=3$$
   
   $$x^2+2x+1=3+1$$
   
   $$(x+1)^2=4.$$

   Первый этап — перенести свободный член вправо, второй — прибавить к обеим частям число $$1$$, чтобы в левой части получился квадрат суммы.

2. Цель второго этапа преобразования уравнения — преобразовать его так, чтобы в левой части получился квадрат суммы.

3. Цель третьего этапа преобразования уравнения — преобразовать его так, чтобы в левой части получился квадрат разности.

4. Равенство $$\frac{b}{a}=2\cdot\frac{b}{2a}$$ верно, так как

   $$2\cdot\frac{b}{2a}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}.$$

5. Преобразуем уравнение $$ax^2+bx+c=0$$, где $$a\ne 0$$:

   $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$
   
   $$x^2+2\cdot\frac{b}{2a}x+\frac{c}{a}=0$$
   
   $$x^2+2\cdot\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$
   
   $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.$$

6. Формула читается так: корни квадратного уравнения равны минус $$b$$, плюс-минус квадратный корень из $$b^2-4ac$$, делённые на $$2a$$:

   $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

7. Выражение $$b^2-4ac$$ называется дискриминантом и обозначается буквой $$D$$.

8. Квадратное уравнение:

   • не имеет действительных корней при $$D<0$$;
   • имеет один корень при $$D=0$$;
   • имеет два корня при $$D>0$$.

9. Если второй коэффициент имеет вид $$b=2m$$, то формула корней принимает вид:

   $$x_{1,2}=\frac{-2m\pm\sqrt{(2m)^2-4ac}}{2a}$$
   
   $$x_{1,2}=\frac{-2m\pm\sqrt{4m^2-4ac}}{2a}$$
   
   $$x_{1,2}=\frac{-2m\pm2\sqrt{m^2-ac}}{2a}$$
   
   $$x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-ac}}{a}.$$

Ответ

1) $$x^2+2x-3=0 \to (x+1)^2=4$$; 2) получить квадрат суммы; 3) получить квадрат разности; 4) верно, так как $$2\cdot\frac{b}{2a}=\frac{b}{a}$$; 5) $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$; 6) $$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$; 7) дискриминант; 8) $$D<0$$ — нет корней, $$D=0$$ — один корень, $$D>0$$ — два корня; 9) $$x_{1,2}=\frac{-m\pm\sqrt{m^2-ac}}{a}$$.