Устные вопросы и задания 25 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

2. Какое свойство степени с натуральным показателем применяется при доказательстве теоремы о корне из дроби?
3. Можно ли отношение квадратных корней из положительных чисел заменить квадратным корнем из отношения этих чисел?
4. Как избавиться от иррациональности в знаменателе: 5/v7; 5/(2-v7); 5/(3+v7); 5/(v3+v7)?
5. Сравнить среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел m и n. 1. Обосновать каждый этап решения уравнения x(x+10)=24 в задаче 1 текста параграфа.
2. Уравнение какого вида называют квадратным? Как называется каждый из коэффициентов этого уравнения?
3. Привести пример квадратного уравнения и назвать его коэффициенты.
4. Сколько корней имеет уравнение x^2=d, если d>0; d=0; d<0? 5. Назвать корни уравнения x^2=d при d>0.
6. Привести пример квадратного уравнения 1) не имеющего действительных корней; 2) имеющего один корень; 3) имеющего два различных корня.

1. Корень из дроби равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя, то есть если $$a \ge 0$$ и $$b > 0$$, то

   $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$$

2. При доказательстве теоремы о корне из дроби применяется свойство возведения дроби в степень.

3. Можно.

4. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

   $$\frac{5}{\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{\sqrt{7}\cdot\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{7}}{7};$$

   $$\frac{5}{2-\sqrt{7}}=\frac{5(2+\sqrt{7})}{(2-\sqrt{7})(2+\sqrt{7})}=\frac{5(2+\sqrt{7})}{4-7}=-\frac{10+5\sqrt{7}}{3};$$

   $$\frac{5}{3+\sqrt{7}}=\frac{5(3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})}=\frac{5(3-\sqrt{7})}{9-7}=\frac{15-5\sqrt{7}}{2};$$

   $$\frac{5}{\sqrt{3}+\sqrt{7}}=\frac{5(\sqrt{3}-\sqrt{7})}{(\sqrt{3}+\sqrt{7})(\sqrt{3}-\sqrt{7})}=\frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{7}}{3-7}=-\frac{5\sqrt{3}-5\sqrt{7}}{4}.$$

5. Для положительных чисел $$m$$ и $$n$$ среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:

   $$\frac{m+n}{2}\ge \sqrt{mn}.$$

6. Решим уравнение $$x(x+10)=24$$:

   $$ x(x+10)=24 \\ x^2+10x-24=0 \\ x^2+12x-2x-24=0 \\ x(x+12)-2(x+12)=0 \\ (x+12)(x-2)=0 $$

   Тогда

   $$x+12=0 \quad \text{или} \quad x-2=0,$$

   откуда

   $$x=-12 \quad \text{или} \quad x=2.$$

7. Уравнение вида $$ax^2+bx+c=0$$ называют квадратным.

   $$a$$ — первый, или старший, коэффициент;

   $$b$$ — второй коэффициент;

   $$c$$ — свободный член.

8. Примеры:

   $$4x^2+2x-3=0 \quad \Rightarrow \quad a=4,\; b=2,\; c=-3;$$

   $$x^2-16=0 \quad \Rightarrow \quad a=1,\; b=0,\; c=-16;$$

   $$5x^2=0 \quad \Rightarrow \quad a=5,\; b=0,\; c=0.$$

9. Уравнение $$x^2=d$$:

   при $$d>0$$ имеет два корня;

   при $$d=0$$ имеет один корень;

   при $$d<0$$ не имеет корней.

10. Если $$d>0$$, то корни уравнения $$x^2=d$$ таковы:

    $$x_1=\sqrt{d}, \quad x_2=-\sqrt{d}.$$

11. Примеры:

    1) не имеет действительных корней: $$x^2+16=0$$;

    2) имеет один корень: $$5x^2=0$$;

    3) имеет два различных корня: $$16x^2-64=0$$.

Ответ

1) $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ при $$a\ge 0,\; b>0$$; 2) свойство возведения дроби в степень; 3) можно; 4) $$\frac{5\sqrt7}{7},\; -\frac{10+5\sqrt7}{3},\; \frac{15-5\sqrt7}{2},\; -\frac{5\sqrt3-5\sqrt7}{4}$$; 5) $$\frac{m+n}{2}\ge \sqrt{mn}$$; 6) $$x=-12,\; x=2$$; 7) $$ax^2+bx+c=0$$; 8) примеры: $$4x^2+2x-3=0$$, $$x^2-16=0$$, $$5x^2=0$$; 9) при $$d>0$$ — два корня, при $$d=0$$ — один, при $$d<0$$ — нет корней; 10) $$x=\pm\sqrt d$$; 11) $$x^2+16=0,\; 5x^2=0,\; 16x^2-64=0$$.