Устные вопросы и задания 9 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

1. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если $$a>b$$ и $$c>d,$$ то $$a+c>b+d.$$

   При умножении неравенств одинакового знака, если все числа положительны, получается неравенство того же знака: если $$a>b,$$ $$c>d$$ и $$a,b,c,d>0,$$ то $$ac>bd.$$

2. Чтобы к неравенствам $$a>5$$ и $$3<b$$ можно было применить теоремы сложения и умножения, их нужно записать с одинаковым знаком:

   $$a>5 \quad \text{и} \quad b>3$$

   или

   $$5<a \quad \text{и} \quad 3<b.$$

3. Так как $$a$$ и $$b$$ — положительные числа и $$a<b,$$ то при умножении неравенства $$a<b$$ на положительное число $$a$$ получаем:

   $$a^2<ab.$$

   А при умножении неравенства $$a<b$$ на положительное число $$b$$ получаем:

   $$ab<b^2.$$

   Следовательно,

   $$a^2<b^2.$$

4. Луч $$x\ge 4$$ является решением второй системы:

   $$\begin{cases} x>3,\\ x\ge 4 \end{cases}$$

5. Примеры систем, содержащих неравенство $$x\le 5,$$ и имеющих решения:

   1. отрезок:

      $$\begin{cases} x\le 5,\\ x\ge -5 \end{cases} \Rightarrow [-5;5]$$

   2. интервал:

      $$\begin{cases} x\le 5,\\ -2<x<6 \end{cases} \Rightarrow (-2;5]$$

   3. полуинтервал:

      $$\begin{cases} x\le 5,\\ x>-3 \end{cases} \Rightarrow (-3;5]$$

   4. луч:

      $$\begin{cases} x\le 5,\\ x\le 5 \end{cases} \Rightarrow (-\infty;5]$$

6. Система не имеет решений, если одно из неравенств противоречит другому, например:

   $$\begin{cases} x\ge -2,\\ x\le -7 \end{cases}$$

   Такая система не имеет общих решений.

Ответ

1) $$a+c>b+d$$; при положительных числах $$a,b,c,d$$: $$ac>bd.$$
2) $$a>5$$ и $$b>3$$ (или $$5<a$$ и $$3<b$$).
3) $$a^2<b^2.$$
4) Вторая система: $$\begin{cases}x>3,\\ x\ge 4\end{cases}$$.
5) Примеры: $$[-5;5],\ (-2;5],\ (-3;5],\ (-\infty;5].$$
6) Например, $$\begin{cases}x\ge -2,\\ x\le -7\end{cases}$$.