Устные вопросы и задания 24 ГДЗ Колягин Ткачёва 8 класс (Алгебра)

2. Сформулировать теорему о корне из произведения нескольких неотрицательных чисел.
3. Можно ли произведение корней из неотрицательных чисел заменить корнем из произведения этих чисел?
4. Привести числовой пример: 1) вынесения множителя из-под знака корня; 2) внесения множителя под знак корня.
5. Какое преобразование можно выполнить, чтобы сравнить значения выражений:1) 5v5 и 3v7; 2) 2v18 и 3v8. 1. Сформулировать теорему о корне из дроби.
2. Какое свойство степени с натуральным показателем применяется при доказательстве теоремы о корне из дроби?
3. Можно ли отношение квадратных корней из положительных чисел заменить квадратным корнем из отношения этих чисел?
4. Как избавиться от иррациональности в знаменателе: 5/v7; 5/(2-v7); 5/(3+v7); 5/(v3+v7)?
5. Сравнить среднее арифметическое и среднее геометрическое положительных чисел m и n.

1. Если $$a \ge 0$$ и $$b \ge 0$$, то корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих множителей:

   $$\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b.$$

2. Корень из произведения нескольких неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел:

   $$\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}=\sqrt{a_1}\cdot\sqrt{a_2}\cdots\sqrt{a_n}, \quad a_i\ge 0.$$

3. Да, произведение корней из неотрицательных чисел можно заменить корнем из произведения этих чисел:

   $$\sqrt a\cdot\sqrt b=\sqrt{ab}, \quad a\ge 0,\ b\ge 0.$$

4. Примеры:

   1) вынесение множителя из-под знака корня:

   $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt2,$$

   $$\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt2.$$

   2) внесение множителя под знак корня:

   $$3\sqrt2=\sqrt{9\cdot 2}=\sqrt{18},$$

   $$2\sqrt3=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{12}.$$

5. Чтобы сравнить выражения, удобно внести множитель под знак корня.

   1) $$5\sqrt5=\sqrt{25\cdot 5}=\sqrt{125}, \qquad 3\sqrt7=\sqrt{9\cdot 7}=\sqrt{63}.$$

   Так как $$125>63,$$ то $$5\sqrt5>3\sqrt7.$$

   2) $$2\sqrt{18}=\sqrt{4\cdot 18}=\sqrt{72}, \qquad 3\sqrt8=\sqrt{9\cdot 8}=\sqrt{72}.$$

   Следовательно, $$2\sqrt{18}=3\sqrt8.$$

6. Если $$a \ge 0$$ и $$b>0,$$ то

   $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}.$$

7. При доказательстве теоремы о корне из дроби используется свойство возведения дроби в степень:

   $$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.$$

8. Да, можно:

   $$\frac{\sqrt a}{\sqrt b}=\sqrt{\frac{a}{b}}, \quad a\ge 0,\ b>0.$$

9. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

   $$\frac{5}{\sqrt7}=\frac{5\sqrt7}{7};$$

   $$\frac{5}{2-\sqrt7}=\frac{5(2+\sqrt7)}{(2-\sqrt7)(2+\sqrt7)}=\frac{5(2+\sqrt7)}{4-7}=-\frac{10+5\sqrt7}{3};$$

   $$\frac{5}{3+\sqrt7}=\frac{5(3-\sqrt7)}{(3+\sqrt7)(3-\sqrt7)}=\frac{5(3-\sqrt7)}{9-7}=\frac{15-5\sqrt7}{2};$$

   $$\frac{5}{\sqrt3+\sqrt7}=\frac{5(\sqrt3-\sqrt7)}{(\sqrt3+\sqrt7)(\sqrt3-\sqrt7)}=\frac{5(\sqrt3-\sqrt7)}{3-7}=\frac{5\sqrt7-5\sqrt3}{4}.$$

10. Для положительных чисел $$m$$ и $$n$$ среднее арифметическое не меньше среднего геометрического:

    $$\frac{m+n}{2}\ge \sqrt{mn}.$$

Ответ

1) $$\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$$ при $$a\ge 0,\ b\ge 0$$; 2) $$\sqrt{a_1a_2\cdots a_n}=\sqrt{a_1}\cdot\sqrt{a_2}\cdots\sqrt{a_n}$$; 3) да, можно; 4) $$\sqrt8=2\sqrt2,\ \sqrt{32}=4\sqrt2,\ 3\sqrt2=\sqrt{18},\ 2\sqrt3=\sqrt{12}$$; 5) $$5\sqrt5>3\sqrt7,\ 2\sqrt{18}=3\sqrt8$$; 6) $$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$$; 7) используется свойство $$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}$$; 8) да, можно; 9) $$\frac{5}{\sqrt7}=\frac{5\sqrt7}{7},\ \frac{5}{2-\sqrt7}=-\frac{10+5\sqrt7}{3},\ \frac{5}{3+\sqrt7}=\frac{15-5\sqrt7}{2},\ \frac{5}{\sqrt3+\sqrt7}=\frac{5\sqrt7-5\sqrt3}{4}$$; 10) $$\frac{m+n}{2}\ge \sqrt{mn}.$$